Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutliche weniger als $90 %$ der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als $90 %$ der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

a) Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten $12$ - bis $19$ -jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens $5 %$ betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.(4BE)

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $100$ befragten Jugendlichen genau $85$ einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.(3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Entscheidungsregel eines Hypothesentests

a)

Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen

Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:

Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:	Test, ob Jugendlicher einen Computer hat
"Treffer":	Jugendlicher hat einen Computer
Hypothesen im Sachzusammenhang:	Nullhypothese: "Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer." Gegenhypothese: "Weniger als 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):	Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist höher als in der Studie." Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p entspricht den Angaben in der Studie."
Fehler 1. Art:	Mindestens 90% der Jugendlichen besitzen einen Computer, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, es seien weniger.

Danach überträgt man die gegebenen Werte:

Nullhypothese	$H_{0} : p \geq 90 %$
Gegenhypothese	$H_{1} : p < 90 %$
Stichprobenlänge:	100
Testgröße:	Anzahl der Jugendlichen mit Computer

Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs

Wir gehen für die Bestimmung des Annahme- und Ablehnungsbereichs davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit $p$ den Wert $0,9$ hat, um die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art möglichst gering zu halten. Würde man einen höheren Wert für $p$ wählen, würde das den Annahmebereich verkleinern (und den Ablehnungsbereich vergrößern) und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art erhöhen.

Der kritische Wert $k$ ist der Wert, ab dem bzw. bis zu dem die Zufallsgröße im Ablehnungsbereich liegt.

Da die Nullhypothese von einer höheren Trefferwahrscheinlichkeit ausgeht als die Gegenhypothese, muss der Annahmebereich von $k + 1$ bis $100$ gehen und der Ablehnungsbereich von $0$ bis $k$ .

Der Annahme- bzw. Ablehnungsbereich bestimmt die Größe der Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. bzw. 2. Art.

Das Signifikanzniveau, das heißt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art, beträgt $5 %$ . Dabei soll aber auch der Fehler 2. Art möglichst gering sein, das heißt man muss die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art so groß wie möglich, aber trotzdem unter dem Signifikanzniveau ansetzen.

Um den Annahme- bzw. Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße kleiner ist als $k + 1$ , höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein.

$P (X < (k + 1))$	$\leq$	$0,05$
	↓	Wahrscheinlichkeit zu einer "höchstens so groß wie" Aussage umformulieren
$P (X \leq k)$	$\leq$	$0,05$
$\sum_{0}^{k} (\binom{100}{x}) \cdot {0,9}^{x} \cdot {0,1}^{100 - x}$	$\leq$	$0,05$

Jetzt kann man entweder das Tafelwerk oder den Taschenrechner verwenden, um den Wert für $k$ herauszufinden. Dabei muss man darauf achten, dass es sich hier um eine kumulative Verteilung handelt.

Annahmebereich:	$A = {85, 86, 87, . . ., 98, 99, 100}$
Ablehnungsbereich:	$A = {0, 1, 2, 3, . . ., 82, 83, 84}$

b)

Von den $200$ befragten Jugendlichen aus der JIM-Studie gaben $77 + 87 = 164$ an, einen Computer zu besitzen. Die Wahrscheinlichkeit eines befragten Jugendlichen, einen Computer zu besitzen, beträgt also $\frac{164}{200} = 0,82 = 82 %$ .

Da es sich um eine Binomialverteilung handelt, kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:

(\binom{100}{85}) \cdot {0,82}^{85} \cdot {0,18}^{15} \approx 0,0807

Die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ befragten Jugendlichen genau $85$ einen Computer haben, beträgt ca. $8,07 %$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org