Mathe Bayern Gymnasium Abiturprüfungen Bayern - Mathematik mit Lösungen Mathematik Abitur Bayern 2014 Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{x}{\ln x}$ mit Definitionsmenge $ℝ^{+} \ {1}$ . Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung von Extremwerten

Um zu berechnen, ob es die Funktion Extremwerte hat braucht man die 1. Ableitung dieser Funktion.

$f^{'} (x) = \frac{(x)^{'} \cdot (l n x) - (x) \cdot (l n x)^{'}}{(l n x)^{'})^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (l n x) - x \cdot \frac{1}{x}}{(\frac{1}{x})^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{l n x - \frac{x}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}$

$f^{'} (x) = \frac{l n x - 1}{\frac{1}{x^{2}}}$

$f^{'} (x) = (l n x - 1) \cdot x^{2}$

$f^{'} (x) = x^{2} l n x - x^{2}$

$f^{'} (x) = 0$

$\Rightarrow$ $x_{E 1} = 0$ aber außerhalb des Definitionsbereichs

$\Rightarrow$ $x_{E 2} = 1$

Die 2. Ableitung berechnen:

$f^{''} (x) = ((l n x - 1) \cdot x^{2})^{'}$

$f^{''} (x) = \frac{1}{x} \cdot x^{2} + l n x \cdot 2 x$

$f^{''} (x) = \frac{x^{2}}{x} + 2 x l n x$

$f^{''} (x) = x + 2 x l n x$

$x_{E}$ in $f^{''} (x)$ einsetzten:

$f^{''} (x_{E}) = 0 + 2 \cdot 0 \cdot l n 0 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 0 = 0$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org