Aufgaben zur Polynomdivision

Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen

Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.

$1 + 2 x + x^{2} - 4 x^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0} .$
Polynom aus der Aufgabenstellung:
$1 + 2 x + x^{2} - 4 x^{3}$
geordnet:
$- 4 x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
$a_{3} = - 4; a_{2} = 1; a_{1} = 2; a_{0} = 1$
$2 + 5 x - 2 x^{2} + x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0} .$
Polynom aus der Aufgabenstellung:
$2 + 5 x - 2 x^{2} + x + 1$
zusammengefasst und geordnet:
$- 2 x^{2} + 6 x + 3$
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
$a_{2} = - 2; a_{1} = 6; a_{0} = 3$
$- 3 + 3 x^{2} - 2 x^{2} + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0} .$
Polynom aus der Aufgabenstellung:
$- 3 + 3 x^{2} - 2 x^{2} + 1$
zusammengefasst und geordnet:
$x^{2} - 2$
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
$a_{2} = 1; a_{1} = 0; a_{0} = - 2$
$1 - x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0} .$
Polynom aus der Aufgabenstellung:
$1 - x^{4}$
geordnet:
$- x^{4} + 1$
Grad des Polynoms: 4
Koeffizienten:
$a_{4} = - 1; a_{3} = a_{2} = a_{1} = 0; a_{0} = 0$
$2 \cdot (1 - 3 x) - (5 - x^{2} - 2 x^{3}) \cdot 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form $a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0}$ .
$2 \cdot (1 - 3 x) - (5 - x^{2} - 3 x^{3}) \cdot 3$
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.
$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (1 - 3 x) - (5 - x^{2} - 3 x^{3}) \cdot 3 \\ = & 2 - 6 x - 15 + 3 x^{2} + 6 x^{3} \\ = & 6 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 13 \end{array}$
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
$a_{3} = 6; a_{2} = 3; a_{1} = - 6; a_{0} = - 13$
Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
$(1 + x^{4}) : (2 x - x^{2} + x + 1)$
in geordneter Form wiedergibt.
- $(x^{4} + 1) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
- $(x^{4} + 1) : (3 x - x^{2} + 1)$
- $(1 + x^{4}) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
- $(- x^{2} + 3 x + 1) : (x^{4} + 1)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
$a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot x + a_{0} .$
Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
$(1 + x^{4}) : (2 x - x^{2} + x + 1)$
Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
$1 + x^{4} = x^{4} + 1$
Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
$2 x - x^{2} + x + 1 = - x^{2} + 3 x + 1$
Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
$(x^{4} + 1) : (- x^{2} + 3 x + 1)$

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