Mathe Funktionen Wichtige Funktionstypen und ihre Eigenschaften Quadratische Funktionen - Parabeln Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$ und $\frac{1}{2 a - 4}$ äquivalent sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Funktionen

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmengen.

Der Nenner des darf nicht Null werden. Bestimme also die Werte für a, die nicht in den Nenner eingesetzt werden dürfen.

Definitionsmenge von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$

Der Nenner von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$ ist $8 - 8 a + 2 a^{2}$ .

$8 - 8 a + 2 a^{2}$	$=$	$0$
	↓	Klammere 2 aus.
$2 \cdot (4 - 4 a + a^{2})$	$=$	$0$	$: 2$
$4 - 4 a + a^{2}$	$=$	$0$
	↓	Verwende die 2. binomische Formel.
${(a - 2)}^{2}$	$=$	$0$

Die Klammer $(a - 2)$ ist $0$ , wenn $a = 2$ ist.

$\Rightarrow D_{1} = ℝ \ {2}$

Definitionsmenge von $\frac{1}{2 a - 4}$

Der Nenner von $\frac{1}{2 a - 4}$ ist $2 a - 4$ .

$2 a - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$2 a$	$=$	$4$	$: 2$
$a$	$=$	$2$

$D_{2} = ℝ ∖ {2}$

Äquivalenz überprüfen

Vereinfache die Gleichung $\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}}$ so weit wie möglich um herauszufinden, ob $\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}} = \frac{1}{2 a - 4}$ gilt.

Kürze dafür zuerst den Bruch mit $(a - 2)$ kürzen.

$\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}}$	$=$	$\frac{1}{2 (a - 2)}$
	↓	Vereinfache den Nenner.
	$=$	$\frac{1}{2 a - 4}$

$\Rightarrow$ Die beiden Terme sind äquivalent

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Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Definitionsmenge bestimmen

Definitionsmenge von a−28−8a+2a2

Definitionsmenge von 12a−4

Äquivalenz überprüfen

Definitionsmenge von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$

Definitionsmenge von $\frac{1}{2 a - 4}$