Mathe Geometrie Spiegelung, zentrische Streckung und andere Abbildungen in der Ebene Berechnung der Abbildungen mit Matrizen Zentrische Streckung: Abbildungsgleichung Aufgaben zur zentrischen Streckung

Aufgaben zur zentrischen Streckung

Strecke die Gerade, die durch die Gleichung $2 \cdot x + 3 \cdot y = 6$ gegeben ist, um den Faktor $k = - 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zentrische Streckung

$2 \cdot x + 3 \cdot y = 6$

Wähle zwei Punkte auf der Geraden, zum Beispiel den $x$ - und den $y$ -Achsenabschnitt.

$A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$

Strecke die Punkte $A$ und $B$ um den Faktor $k = - 2$ .

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$x_{A^{'}}$	$=$	$k \cdot x_{A}$
$y_{A^{'}}$	$=$	$k \cdot y_{A}$
$x_{B^{'}}$	$=$	$k \cdot x_{B}$
$y_{B^{'}}$	$=$	$k \cdot y_{B}$

Setze den Faktor $k = - 2$ in das Gleichungssystem ein.

$x_{A^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot x_{A}$
$y_{A^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot y_{A}$
$x_{B^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot x_{B}$
$y_{B^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot y_{B}$

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$

$x_{A^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot 0$
$y_{A^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot 2$
$x_{B^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot 3$
$y_{B^{'}}$	$=$	$- 2 \cdot 0$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 | - 4)$ und $B^{'} (- 6 | 0)$ .

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{A} \\ y_{A} \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{B} \\ y_{B} \end{array})$

Setze den Faktor $k = - 2$ in die Matrizen ein.

$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{A} \\ y_{A} \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x_{B} \\ y_{B} \end{array})$

Setze die Koordinaten der Punkte $A (0 | 2)$ und $B (3 | 0)$ in die Vektoren ein.

$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array})$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikationen aus.

$(\begin{array}{c} x_{A^{'}} \\ y_{A^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array})$

$(\begin{array}{c} x_{B^{'}} \\ y_{B^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \end{array})$

Damit sind die gestreckten Punkte $A^{'} (0 | - 4)$ und $B^{'} (- 6 | 0)$ .

Aufstellen der Geradengleichung:

$y = m \cdot x + t$

Den $y$ -Achsenabschnitt $t$ kannst du von dem Punkt $A^{'} (0 | - 4)$ ablesen.

$t = - 4$ $\Rightarrow y = m \cdot x - 4$

Die Steigung $m$ kannst du durch die Koordinaten der Punkte $A^{'}$ und $B^{'}$ bestimmen.

$m = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot x - 4 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \cdot x - y = 4$

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