Aufgaben zu linearen Funktionen

Berechnen Sie den Abstand der parallelen Geraden g: $y = - \frac{1}{2} x + 2$ und h: $y = - \frac{1}{2} x - 3$ .

Rundet das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Geraden

Der kürzeste Weg zwischen zwei parallelen Geraden ist eine Normale der Geraden .

Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten der Normale mit den Geraden .

Fertige eine Skizze an.

Berechne dazu zunächst die Steigung.

$m_{d} \cdot m_{g}$	$=$	$- 1$	$: m_{g}$
$m_{d}$	$=$	$\frac{- 1}{m_{g}}$
	↓	Setze die Steigung der Funktion $m_{g}$ (nämlich $- \frac{1}{2}$ ) ein.
$m_{d}$	$=$	$\frac{- 1}{- \frac{1}{2}}$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$m_{d}$	$=$	$- 2$

Stelle nun die Geradengleichung auf.

Es wird ein Punkt T, der auf der Geraden liegt benötigt. Verwendet wird der y-Abschnitt von $h (x)$ : $(0 | - 3)$ .

Setze $T (0 | - 3)$ (siehe Skizze) und $m_{d}$ in die allgemeine Geradengleichung ein um t zu bestimmen.

$- 3$	$=$	$2 \cdot (0) + t$
	↓	Multipliziere aus .
$t$	$=$	$- 3$
	↓	Setze t und $m_{d}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$y$	$=$	$2 x - 3$

Berechne zunächst die x-Koordinate des Schnittpunkts S.

Normale d: $y = 2 x - 3$

Gerade g: $y = - \frac{1}{2} x + 2$

Setze die Funktionen gleich.

Berechne nun die y-Koordinate des Schnittpunkts S.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes S an.

$\Rightarrow$ $S (2 | 1)$

Bestimme den Abstand in x-Richtung.

$T (0 | - 3)$ , $S (2 | 1)$

Berechne die Differenz der x-Werte von S und T.

$Δ x = 2 - 0 = 2$

Bestimme den Abstand in y-Richtung.

$T (0 | - 3)$ , $S (2 | 1)$

Berechne die Differenz der y-Werte.

$Δ y = 1 - (- 3) = 4$

Bestimme den Abstand in direkter Linie zwischen den Punkten.

$Δ x = 2$

$Δ y = 4$

$d^{2}$	$=$	$2^{2} + 4^{2}$
	↓	Berechne die beiden Potenzen.
$d^{2}$	$=$	$4 + 16$
	↓	Addiere.
$d^{2}$	$=$	$20$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$d$	$=$	$\sqrt{20}$

Wenn du $\sqrt{20}$ in den Taschenrechner eingibst und das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma rundest, erhältst du:

$d = \sqrt{20} \approx 4,47$

Der Abstand der beiden Geraden beträgt etwa 4,47.

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