Teil A: Pflichtteil

Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ orthogonal zueinander sind

Berechne die beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ und ihr Skalarprodukt:

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=1\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot (-6)=6+6-12=0$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ ist gleich null. Sie sind orthogonal zueinander.

Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an, der die Punkte $A,B$ und $C$ zu einem Rechteck $ABCD$ ergänzt

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OD}$:

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -1\end{array}\right)$

Also hat der Punkt $D$ die Koordinaten $D(8|7|-1)$.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$

$A_{ABCD}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|$

$A_{ABCD}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+3^2+(-6{)}^2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{81}=3\cdot 9=27$

Der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ beträgt $27\mathrm{FE}$.