Teil B: Analysis 1

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to - \infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
Gib den Grenzwert von $h$ für $x \to - \infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms
Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
Dann gilt:
$\lim_{x \to - \infty} \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{(1 - x^{2})}} \cdot \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{x}}} = 0$
$e^{x}$ geht stärker gegen $0$ als $(1 - x^{2})$ gegen minus unendlich geht.
Der Grenzwert von $h$ für $x \to - \infty$ ist gleich null.
Betrachte die einzelnen Faktoren.
$G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.
Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H (- 1 + \sqrt{2} | h (- 1 + \sqrt{2}))$ von $G_{h}$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\int_{- 1}^{1} h (x) d x = \frac{4}{e}$ .
Berechne $A_{1} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x \approx 0,95$ . Dann ist $A_{2} = A - A_{1} = \frac{4}{e} - 0,95 \approx 0,52$ .
Die größere Fläche ist also $A_{1}$ :
Gesucht ist also das Verhältnis $\frac{A_{1}}{A}$ :
$\frac{A_{1}}{A} = \frac{\int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x}{\int_{- 1}^{1} h (x) d x} \approx 0,647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64,7 %$ .
Berechne die Nullstellen von $h$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\int_{x_{1}}^{x_{2}} h (x) d x$ .
Welche der beiden Teilflächen hat den größeren Flächeninhalt $\Rightarrow A_{größer}$
Berechne dann das Verhältnis $\frac{A_{größer}}{A}$ .
Es gibt eine Zahl $b > 1$ , sodass die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A$ .
Bestimmen Sie $b$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme $b$
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Zwei gleich große Flächen
Die orangefarbige Fläche soll den gleichen Flächeninhalt haben wie die grüne Fläche.
Da die orangefarbige Fläche unterhalb der x-Achse liegt, gilt:
$A_{grün} + A_{orange} = 0 \Rightarrow \int_{- 1}^{b} h (x) d x = 0$
Diese Gleichung kann mit $nsolve$ gelöst werden und man erhält für $b > 1$ die Lösung $b \approx 1,55692...$ .
Für $b \approx 1,56$ hat die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt wie die Fläche $A$ .
Die Fläche $A$ liegt oberhalb der x-Achse.
Die Fläche $\int_{1}^{b} h (x) d x$ liegt unterhalb der x-Achse.
Beide Flächen sind für $b > 1$ gleich groß, wenn $\int_{- 1}^{b} h (x) d x = 0$ ist.
Gegeben ist die für $x \leq - 1$ definierte Funktion $k$ mit $k (x) = \int_{x}^{- 1} h (t) d t$ . Ihr Graph wird mit $G_{k}$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_{h}$ und $G_{k}$ . Für $x \to - \infty$ kommt $G_{k}$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y = - \frac{4}{e}$ beliebig nahe.
(i) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt und dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (1 P + 2 P)
(ii) Deuten Sie damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $- \frac{4}{e}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt
Es gilt:
$k (- 1) = \int_{- 1}^{- 1} h (x) d x = 0$ wegen der übereinstimmenden Grenzen des Integrals.
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . (siehe Abbildung bei d)
Deshalb ist für $x < - 1$ auch $k (x) < 0$ .
(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $- \frac{4}{e}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Fläche unterhalb der x-Achse
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Die Annäherung von $G_{k}$ an die Gerade $r$ mit der Gleichung $y = - \frac{4}{e}$ bedeutet daher für $G_{h}$ geometrisch, dass der Inhalt der oben beschriebenen Fläche für kleiner werdende Werte von $c$ dem Wert $\frac{4}{e}$ beliebig nahekommt.
In der Zeichnung ist der Wert des Integrals $k (- 12) = \int_{- 12}^{- 1} h (t) d t \approx - 1,47$ angegeben (grüne Fläche) $\Rightarrow$ $- \frac{4}{e} \approx - 1,4715...$
(i)
Teil 1
Wenn die Grenzen des Integrals übereinstimmen, ist der Wert des Integrals gleich null.
Teil 2
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . Welche Folgen hat das für $k (x)$ ?
(ii)
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Welchem Wert nähert sich diese Fläche für kleiner werdendes $c$ an?
Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a} (x) = \frac{1}{a} \cdot (a - x^{2}) \cdot e^{x}$ und $a > 0$ . Der Graph von $h_{a}$ wird mit $G_{h_{a}}$ bezeichnet.
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $- \sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $- \sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv sind
Gegeben ist: $h_{a} (x) = \frac{1}{a} \cdot (a - x^{2}) \cdot e^{x}$
Gefordert wird, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ positiv sein sollen.
Dann folgt daraus:
$h_{a} (x) = \underset{> 0 weil a > 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{a}}} \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{(a - x^{2})}} \cdot \underset{> 0 für alle x}{\underset{⏟}{e^{x}}}$
Demnach muss $a - x^{2} > 0$ sein $\Rightarrow a > x^{2} \Rightarrow \sqrt{a} > | x |$ .
Für $x \geq 0$ ist $x < \sqrt{a}$ .
Für $x < 0$ ist $- x < \sqrt{a} \Rightarrow x > - \sqrt{a}$
Zusammengefasst gilt dann: $- \sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ ,
Für jedes $a > 0$ sind die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $- \sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv.
Betrachte die drei Terme, aus denen sich $h (x)$ zusammensetzt. Alle drei Terme müssen größer null sein, damit $h (x) > 0$ ist.
Untersuche dann den 2. Term.
Es gibt einen Wert von $a$ , sodass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Berechnen Sie diesen Wert von $a$ . (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Berechne diesen Wert von $a$
Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{'} (x) = 0$ .
Die Gleichung liefert die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1} = - 1 - \sqrt{a + 1}$ und $x_{2} = - 1 + \sqrt{a + 1}$ .
Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2} = h_{a} (x_{1}) \cdot h_{a} (x_{2})$ .
Wegen $a > 0$ besitzt die Gleichung $x_{1} \cdot x_{2} = h_{a} (x_{1}) \cdot h_{a} (x_{2})$ nur die Lösung $a = \frac{2}{e} \approx 0,74$ als einzige Lösung.
Für die Extremwerte berechne $h_{a}^{'} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Gefordert ist, dass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_{a}}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Das führt zu der Gleichung $x_{1} \cdot x_{2} = h_{a} (x_{1}) \cdot h_{a} (x_{2})$ .
Löse die angegebene Gleichung.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 2

Gib den Grenzwert von h für x→−∞ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat

Bestimme b

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass k die Nullstelle −1 besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass Gk im Bereich x<−1 unterhalb der x-Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert −4e in Bezug auf Gh geometrisch

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes a>0 die Funktionswerte von ha nur für −a<x<a positiv sind

Berechne diesen Wert von a

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \to - \infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat

Bestimme $b$

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $- \frac{4}{e}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $- \sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ positiv sind

Berechne diesen Wert von $a$