Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder

gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ , wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.

Begründen Sie, dass $X$ und $Y$ die gleiche Standardabweichung haben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein blaues oder gelbes Feld trifft, ist nicht gegeben. Man bezeichnet also zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein blaues Feld trifft, $p$ , und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein gelbes Feld trifft, $q$ . Wir wissen, dass $p + q = 1$ sein muss, da man nur entweder ein blaues oder ein gelbes Feld treffen kann.
Der Erwartungswert beträgt, da es sich um eine Binomialverteilung handelt, für $X$ : $n \cdot p = 100 p$ und für $Y$ : $n \cdot q = 100 q$ .
Varianz und Standardabweichung
Die Varianz berechnet man bei einer Binomialverteilung mit der Formel
$n \cdot p \cdot (1 - p)$ .
Varianz von $X$ : $100 \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot p \cdot q$
Varianz von $Y$ : $100 \cdot q \cdot (1 - q) = 100 \cdot q \cdot p$
$\Rightarrow$ Varianz von $X =$ Varianz von $Y$
Da die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz ist, sind auch diese beiden Werte gleich.
Benenne die Trefferwahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse mit Variablen. Was verbindet die beiden Wahrscheinlichkeiten?
Formuliere in Abhängigkeit von den Variablen Werte für die Varianz und die Standardabweichung auf und vergleiche sie.
Der Erwartungswert von $X$ ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der
Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ .
Bestimmen Sie die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $75$ .
$\Rightarrow E (X) = 75$
Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $n$ und $p$ definiert.
$\Rightarrow E (X) = n \cdot p = 100 \cdot p$
Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:
$75$ $=$ $100 \cdot p$ $: 100$
$\frac{75}{100}$ $=$ $p$
$\frac{3}{4}$ $=$ $p$
Die Zufallsvariable $X$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ von $0,75$ . Da das Glücksrad insgesamt $20$ gleich große Felder hat, müssen $20 \cdot 0,75 = 15$ davon blau sein.
Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert E(X). Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen.
Weiterhin gilt: $E (X) = n \cdot p = 100 \cdot p$
Setze den abgelesenen Wert für $E$ in die Gleichung ein und löse nach $p$ auf.
Die Anzahl der blauen Felder ist dann gleich $20$ mal $p$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$75$	$=$	$100 \cdot p$	$: 100$
$\frac{75}{100}$	$=$	$p$
$\frac{3}{4}$	$=$	$p$

Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Erwartungswert

Varianz und Standardabweichung