Pflichtteil

Aufgabe 4

Bei einem Spielautomaten gewinnt man in $30 %$ aller Spiele.

Es werden $10$ Spiele gespielt. Die Anzahl der gewonnenen Spiele ist binomialverteilt.
Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnet werden kann: (3 BE)
Es werden mindestens 2, aber weniger als 4 Spiele gewonnen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ereignis
"mindestens 2, aber weniger als 4 Spiele gewonnen" bedeutet, die Wahrscheinlichkeit $P (2 \leq X < 4)$ ist gesucht.
Genauer sind es die Wahrscheinlichkeiten:
$P (2 \leq X \leq 3) = P (X = 2) + P (X = 3)$
Wahrscheinlichkeit
Die Formel für die binomialverteilte Wahrscheinlichkeit lautet:
$P (X = k)$ $=$ $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
↓
$n = 10$ Spiele
$p = 0,3$ für einen Gewinn
$k = 2, k = 3$ gesucht
$P (2 \leq X \leq 3)$ $=$ $P (X = 2) + P (X = 3)$
↓
Einsetzen
$=$ $(\binom{10}{2}) {0,3}^{2} {0,7}^{8} + (\binom{10}{3}) {0,3}^{3} {0,7}^{7}$
Es reicht hierbei, den Term anzugeben. Ausgerechnet wäre die Wahrscheinlichkeit: $P (2 \leq X \leq 3) \approx 0,2335 + 0,2668 = 0,5003$
Untersuche die Formulierung "mindestens 2, weniger als 4" und bestimme, welche Werte $X$ (gespielte Spiele) in diesem Ereignis annimmt.
Verwende die Formel für die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Der Einsatz für ein Spiel beträgt $1 €$ . Gewinnt man ein Spiel, so werden $3 €$ ausgezahlt.
Berechnen Sie den auf lange Sicht zu erwartenden Gewinn pro Spiel. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert berechnen
Die möglichen Werte, die $Y$ annehmen kann sind $- 1$ und $3$ (man verliert einen Euro oder gewinnt 2).
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist gegeben durch $p = 0,3$ .
Übersicht
Y
P(Y)
$- 1 €$
$0,7$
$3 € - 1 € = 2 €$
$0,3$
Der Erwartungswert beträgt:
$E [Y]$ $=$ $- 1 € \cdot 0,7 + 2 € \cdot 0,3$
$=$ $- 0,1 €$
Auf lange Sicht verliert man im Mittel pro Spiel $0,1 €$ .
Stelle die Gleichung für den Erwartungswert auf.
$Y$ bezeichnet jetzt die möglichen Beträge, die gewonnen/verloren werden können.
$E [Y] = \sum_{Y} Y \cdot P (Y)$

Y	P(Y)
$- 1 €$	$0,7$
$3 € - 1 € = 2 €$	$0,3$

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$P (X = k)$	$=$	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
	↓	$n = 10$ Spiele $p = 0,3$ für einen Gewinn $k = 2, k = 3$ gesucht
$P (2 \leq X \leq 3)$	$=$	$P (X = 2) + P (X = 3)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$(\binom{10}{2}) {0,3}^{2} {0,7}^{8} + (\binom{10}{3}) {0,3}^{3} {0,7}^{7}$

$E [Y]$	$=$	$- 1 € \cdot 0,7 + 2 € \cdot 0,3$
	$=$	$- 0,1 €$

Pflichtteil

Aufgabe 4

Ereignis

Wahrscheinlichkeit

Erwartungswert berechnen