Nachtermin Teil A

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung

$y = - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1$ ; $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ eingezeichnet.

Durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}$ wird der Graph zu $f_{1}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4$ ; $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ abgebildet.
Zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 6; 4]$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein. Geben Sie sodann den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Der Graph der Funktion $f_{2} : y = - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4$ ergibt sich aus dem Graph der Funktion $f_{1} : y = - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1$ durch Parallelverschiebung um den Vektor $\vec{v}$ .
Variante 1: Verschiebung einer Funktion
Der Graph von $f_{1}^{*}$ muss um vier Längeneinheiten in Richtung der negativen x-Achse verschoben werden, um den Graphen von $f_{2}^{*}$ zu erhalten.
Wegen des konstanten Gliedes " $- 1$ " von $f_{1}$ und des konstanten Gliedes " $+ 4$ " von $f_{2}$ muss man den Graphen von $f_{1}$ noch um fünf Längeneinheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion $f_{2}$ zu erhalten.
Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \end{array})$ .
Variante 2: Abbildungsgleichung
Du kannst auch die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung betrachten:
Zunächst setzt man $x^{'} = x + v_{x}$ in die zweite Gleichung ein. Diese Gleichung muss eine wahre Aussage liefern.
$\begin{array}{rcl} x^{'} & = & x + v_{x} \\ \land - 1,5 \cdot 2^{x^{'} - 2} + 4 & = & - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1 + v_{y} \\ x^{'} & = & x + v_{x} \\ \land - 1,5 \cdot 2^{(x + v_{x}) - 2} + 4 & = & - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1 + v_{y} \end{array}$
Dies ist nur möglich für $v_{x} = - 4$ und $v_{y} = 5$ .
Also gilt für den Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \end{array})$ .
Punkte $B_{n} (x | - 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_{n} (x | - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit dem Punkt $A (- 5 | 1,5)$ für $- 5 < x < 3,83$ Eckpunkte von Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
$B_{n} C_{n} (x) = (- 1,41 \cdot 2^{x - 2} + 5) LE .$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Punkte $B_{n}$ und $C_{n}$ liegen übereinander (gleiche Abszisse $x$ ). Um nun die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ zu berechnen, bildet man die Differenz aus den y-Werten.
Man könnte auch sagen, man subtrahiert die "untere" Funktion von der "oberen":
$\begin{array}{rcl} B_{n} C_{n} (x) & = & y_{C_{n}} - y_{B_{n}} \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4 - (- 1,5 \cdot 2^{x - 6} - 1) \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 4 + 1,5 \cdot 2^{x - 6} + 1 \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 1,5 \cdot 2^{x - 6} + 5 \\ = & - 1,5 \cdot 2^{x - 2} + 1,5 \cdot 2^{- 4} \cdot 2^{x - 2} + 5 \\ B_{n} C_{n} (x) & \approx & (- 1,41 \cdot 2^{x - 2} + 5) LE \end{array}$
Das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ ist rechtwinklig mit $∢ A B_{2} C_{2} = 90^{\circ}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zur Abbildung der Aufgabenstellung ein und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Punkte $B_{2}$ und $C_{2}$ besitzen die gleiche Abszisse $x$ und das Dreieck soll rechtwinklig sein.
Daher muss die Strecke $[A C_{2}]$ parallel zur x-Achse sein. Somit müssen die y-Koordinaten von $A$ und $C_{2}$ gleich sein: $y_{A} = 1,5 = y_{C_{2}}$ .
Daraus folgt für $x_{C_{2}}$ mithilfe des Logarithmus:
$\begin{array}{rcl} - 1,5 \cdot 2^{x_{C_{2}} - 2} + 4 & = & 1,5 \\ - 1,5 \cdot 2^{x_{C_{2}} - 2} & = & - 2,5 \\ 2^{x_{C_{2}} - 2} & = & \frac{5}{3} \\ x_{C_{2}} - 2 & = & \log_{2} \frac{5}{3} \\ x_{C_{2}} & = & \log_{2} \frac{5}{3} + 2 \\ x_{C_{2}} & \approx & 2,74 \end{array}$
Damit ergibt sich für die Länge $A C_{2}$ des Dreiecks:
$A C_{2} = x_{C_{2}} - x_{A} = 2,74 - (- 5) = 7,74 LE$
Für die Länge $B_{2} C_{2}$ (Höhe des Dreiecks) ergibt sich aus 2.3:
$\begin{array}{rcl} B_{2} C_{2} & = & - 1,41 \cdot 2^{2,74 - 2} + 5 \\ B_{2} C_{2} & = & 2,65 LE \end{array}$
Schließlich ergibt sich für die gesuchte Fläche des Dreiecks $A B_{2} C_{2}$ :
$\begin{array}{rcl} A_{A B_{2} C_{2}} & = & 0,5 \cdot 7,74 \cdot 2,65 FE \\ A_{A B_{2} C_{2}} & = & 10,26 FE \end{array}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org