Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Betrachte zunächst die Ereignisse $C$ und $D$.

C: "Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als $4$".

Möglich sind hier die Ereignisse $C=\{00,01,10,02,20,03,30,11,12,21\}$. Das sind $10$ von $100$ möglichen Ereignissen$\Rightarrow P(C)={\displaystyle \frac{10}{100}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$.

D: "Das Produkt der erzielten Zahlen ist $2$ oder $3$".

Möglich sind hier die Ereignisse $D=\{12,21,13,31\}$. Das sind $4$ von $100$ möglichen Ereignissen$\Rightarrow P(D)={\displaystyle \frac{4}{100}}={\displaystyle \frac{1}{25}}$.

Untersuche, ob die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig sind?

Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:

$P(C\cap D)=P(C)\cdot P(D)$

Die Schnittmenge der beiden Ereignisse $C$ und $D$ ist:

$C\cap D=\{\mathrm{12,21}\}$

Das sind $2$ von $100$ möglichen Ereignissen$\Rightarrow P(C\cap D)={\displaystyle \frac{2}{100}}=\mathrm{0,02}$.

Andererseits ist $P(C)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ und $P(D)={\displaystyle \frac{4}{100}}$.

$\Rightarrow P(C)\cdot P(D)={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{100}}={\displaystyle \frac{4}{1000}}=\mathrm{0,004}$

$P(C\cap D)\ne P(C)\cdot P(D)$ denn $\mathrm{0,02}\ne \mathrm{0,004}$

Die Ereignisse $C$ und $D$ sind nicht stochastisch unabhängig. Sie sind stochastisch abhängig.