Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto - x^{2} + 2 a x$ mit $a \in] 1; + \infty [.$

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 P)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vergleiche Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 P)
Abb.1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$ .
$f (x) = - x^{2} + 2 a x$
Berechne $f^{'} (x)$ :
$f^{'} (x) = - 2 x + 2 a$
Bei einem Hochpunkt muss $f^{'} (x) = 0$ sein:
$- 2 x + 2 a$ $=$ $0$ $+ 2 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$2 a$ $=$ $2 x$ $: 2$
$a$ $=$ $x$
Für $x = a$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt.
Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x = a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.
$f (a)$ $=$ $- a^{2} + 2 a \cdot a$
$=$ $- a^{2} + 2 a^{2}$
$=$ $a^{2}$
$f (a) = a^{2}$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_{□} = (a^{2})^{2} = a^{4}$
Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ . Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:
Setze $a^{4} = \frac{4}{3} a^{3} :$
$a^{4}$ $=$ $\frac{4}{3} a^{3}$ $- \frac{4}{3} a^{3}$
↓
Löse nach $a$ auf.
$a^{4} - \frac{4}{3} a^{3}$ $=$ $0$
↓
Klammere $a^{3}$ aus.
$a^{3} \cdot (a - \frac{4}{3})$ $=$ $0$
Du hast die Gleichung $a^{3} \cdot (a - \frac{4}{3}) = 0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.
Es ist $a = 0$ oder $a = \frac{4}{3} .$
Da $a \in] 1; + \infty [$ entfällt die Lösung $a = 0$ .
Für $a = \frac{4}{3}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achsen einschließt, überein.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$\int_{0}^{2 a} (- x^{2} + 2 a x) d x$	$=$	${[- \frac{x^{3}}{3} + a x^{2}]}_{0}^{2 a}$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der obere Wert ( $2 a$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert ( $0$ ) gerechnet.
	$=$	$(- \frac{(2 a)^{3}}{3} + a \cdot (2 a)^{2}) - (- 0 + 0)$
	↓	Berechne die Klammern.
	$=$	$- \frac{8 a^{3}}{3} + a \cdot 4 a^{2}$
	↓	Vereinfache den 2. Term.
	$=$	$- \frac{8 a^{3}}{3} + 4 a^{3}$
	↓	Erweitere den Term $4 a^{3}$ mit $3$ .
	$=$	$- \frac{8 a^{3}}{3} + \frac{12 a^{3}}{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot a^{3}$

$- 2 x + 2 a$	$=$	$0$	$+ 2 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 a$	$=$	$2 x$	$: 2$
$a$	$=$	$x$

$f (a)$	$=$	$- a^{2} + 2 a \cdot a$
	$=$	$- a^{2} + 2 a^{2}$
	$=$	$a^{2}$

$a^{4}$	$=$	$\frac{4}{3} a^{3}$	$- \frac{4}{3} a^{3}$
	↓	Löse nach $a$ auf.
$a^{4} - \frac{4}{3} a^{3}$	$=$	$0$
	↓	Klammere $a^{3}$ aus.
$a^{3} \cdot (a - \frac{4}{3})$	$=$	$0$