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Aufgaben zur Vielfachheit von Nullstellen

Vielfachheit von Nullstellen

Der Graph einer Funktion $f$ zeigt verschiedene Nullstellen. Welche davon ist eine doppelte Nullstelle?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Die Nullstelle bei $x = - 3$ ist eine doppelte Nullstelle. Der Graph der Funktion $f$ berührt die x-Achse dort und schneidet sie nicht.
Warum ist die Nullstelle $N_{1} (- 3 | 0)$ eine doppelte Nullstelle?
Der Graph von $f$ schneidet in dieser Stelle nicht die x-Achse. Er berührt diese nur und hat in $(- 3 | 0)$ einen Hochpunkt, was im rot markierten Teil des Graphen zu sehen ist.
Überlege, welche Eigenschaft eine doppelte Nullstelle besitzt. Gibt es hier einen Punkt, der diese Eigenschaft erfüllt?
Der Graph von $f$ erneut abgebildet.
Wähle alle Aussagen aus, die richtig sind.
- Der Graph von $f$ besitzt einfache, doppelte und dreifache Nullstellen.
- $f$ hat in $x = 1$ eine einfache Nullstelle, weil der Graph die x-Achse dort schneidet.
- $f$ hat insgesamt 4 verschiedene Nullstellen.
- Aufgrund der Vielfachheit der Nullstellen muss $f$ ein Polynom mit Grad $6$ sein. Also von der Form $f (x) = a x^{6} + . . .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vielfachheit von Nullstellen
Richtig ist:
$f$ hat insgesamt vier Nullstellen. Nämlich an den Stellen $x = - 3$ , $x = 1$ , $x = 3$ und $x = 5$ .
Die Nullstelle in $x = - 3$ ist doppelt, die bei $x = 1$ dreifach und die anderen einfach.

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