Aufgaben zu Hypothesentests

Es werden $n=50$ Gallier befragt und $p=\mathrm{0,1}$, da jeder 10. unzufrieden ist und $H$ die Anzahl der unzufriedenen Kunden angibt.

Verwende zum Beispiel das Tafelwerk für die folgende Berechnung.

Mit 83% Wahrscheinlichkeit sind mehr als 2 und weniger als 9 Kunden unzufrieden.

Testgröße, Stichprobenlänge und Signifikanzniveau

$H:$ Anzahl der Kunden, die unzufrieden mit den Hinkelsteinen sind

$n=50$ und $\alpha =5\%$

Hypothesen mit Trefferwahrscheinlichkeit

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Obelix will zeigen, dass die Anzahl der unzufrieden Kunden auf unter 10% gesunken ist. Die Nullhypothese ist daher das Gegenteil:

${\mathrm{H}}_0:p\ge \mathrm{0,1}$, d.h. dass mindestens 10% der Kunden unzufrieden sind.

$H_1$: $p<\mathrm{0,1}$, d.h. dass weniger als 10% der Kunden unzufrieden sind.

Entscheidungsregel in Abhängigkeit von c

Die Nullhypothese gilt, wenn viele Kunden unzufrieden sind. Somit liegt der Annahmebereich rechts vom kritischen Wert und der Ablehnungsbereich links:

$\overline{A}=\{0;...;c\}$ und $A=\{c+1;...;50\}$

(Ablehnungsbereich links: linksseitiger Test)

Term zur "Berechnung" von $\alpha$

$\alpha =5\%$ beschreibt die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert im Ablehnungsbereich $\overline{A}$ (also $X\in \{0;...;c\}$ oder $X\le c$) erreicht wird, obwohl die Nullhypothese $H_0$ noch gilt. Also bleibt $p=\mathrm{0,1}$ und $n=50$ und für $\alpha$ gilt:

$P_p^n(X\le c)\le \alpha$

$P_{\mathrm{0,1}}^{50}(X\le c)\le \mathrm{0,05}$

kritischen Wert c bestimmen

Verwende eine tabellarische Übersicht, wie z.B. das Tafelwerk, um den letzten Wert c zu finden, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\le c)$ noch unter 5% liegt:

Da $P_{\mathrm{0,1}}^{50}(X\le 1)=\mathrm{0,03379}$ und $P_{\mathrm{0,1}}^{50}(X\le 2)=\mathrm{0,11173}$ ist $c=1$

Entscheidungsregel und Antwort auf weiterführende Frage

Die finale Entscheidungsregel mit $c=1$ lautet:

$\overline{A}=\{0;1\}$ und $A=\{2;...;50\}$. Das bedeutet, dass er nur bei keinem oder einem unzufriedenen Kunden die bisher gültige Nullhypothese hätte verwerfen können und Idefix’ Leistung messbar gewesen wäre.

Zwar sind nach dem Testergebnis nur 3 von 50 Galliern unzufrieden, d.h. $\frac{3}{50}=\mathrm{0,06}=6\%$, jedoch ist das Testergebnis nicht signifikant, da nach der Entscheidungsregel die Nullhypothese ab 2 unzufriedenen Kunden angenommen werden müsste, insbesondere also bei 3 unzufriedenen Kunden. Dementsprechend kann Obelix nicht ohne weitere Tests durchzuführen die Behauptung "mehr als 90% zufriedene Kunden" aufstellen.