Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen

$E_{1} : 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ , $E_{2} : 3 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 4$ und $E_{3} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Dazu wird zuerst die Ebene $E_{3}$ in die Koordinatenform umgewandelt.

Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $E_{3}$

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und setze in die Normalenform ein:

$E : (\vec{X} - \vec{A}) \circ \vec{n}$	$=$	$0$
	↓	Setze $\vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{n} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ ein.
$(\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} - 4$	$=$	$0$
$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$

Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene $E_{3}$ lautet:

$E_{3} : 4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 4$

Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\vec{n}}_{1} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ , ${\vec{n}}_{2} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{3} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) $

Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.

Berechnung der Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12} : E _{1} \cap E_{2} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 2 \\ II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $II - I \Rightarrow x_{1} + 3 \cdot x_{2} = 2$ $\Rightarrow x_{1} = 2 - 3 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 2 - 3 \cdot r$

Löse Gleichung $II$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 2 - 3 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 3 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 3 \cdot x_{1} - 4 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 2 - 3 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$	$=$	$4 - 3 \cdot (2 - 3 \cdot r) - 4 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x_{3}$	$=$	$4 - 6 + 9 \cdot r - 4 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- 2 + 5 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 2 - 3 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}) \\ x_{3} = - 2 + 5 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{array})

Zweite Schnittgerade $g_{23} : E _{2} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $III - II \Rightarrow x_{1} - 6 \cdot x_{2} = 0$ $\Rightarrow x_{1} = 6 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 6 \cdot r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 6 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 6 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot 6 \cdot r + 2 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$4 - 22 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 0 + 6 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 22 \end{array}) \\ x_{3} = 4 - 22 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ - 22 \end{array})

Dritte Schnittgerade $g_{13} : E _{1} \cap E_{3} $

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 2 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = & 4 \end{array}$

Rechne $III - II \Rightarrow 2 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} = 2$ $\Rightarrow x_{1} = 1 + 1,5 \cdot x_{2}$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_{2} = r \Rightarrow x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$

Löse Gleichung $III$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + x_{3}$	$=$	$4$	$- 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r$ und $x_{2} = r$ ein
$x_{3}$	$=$	$4 - 4 \cdot (1 + 1,5 \cdot r) + 2 \cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$4 - 4 - 6 \cdot r + 2 \cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- 4 \cdot r$

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l} x_{1} = 1 + 1,5 \cdot r \\ x_{2} = 0 + 1 \cdot r \Rightarrow (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1,5 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ x_{3} = 0 - 4 \cdot r \end{array}$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1,5 \\ 1 \\ - 4 \end{array})

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:

$\begin{array}{ccccc} I & 2 \cdot x_{1} & + & 1 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 2 \\ II & 3 \cdot x_{1} & + & 4 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 4 \\ III & 4 \cdot x_{1} & - & 2 \cdot x_{2} & + & 1 \cdot x_{3} & = 4 \end{array} \to (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 4 \\ 4 & - 2 & 1 & 4 \end{array})$

Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die $3.$ Spalte zur $1.$ Spalte.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & - 2 & 4 \end{array}) \overset{1 \cdot I I - 1 \cdot I}{\underset{1 \cdot I I I - 1 \cdot I}{⟶}} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & - 3 & 2 \end{array}) \overset{1 \cdot I I I - 2 \cdot I I}{⟶} (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 2 \end{array})$

BeachteDie Spalten wurden vertauscht

Achte bei den folgenden Rechnungen auf die geänderte Reihenfolge der Variablen:

x_{3}, x_{1}, x_{2}

Dann folgt aus der letzten Zeile: $- 9 \cdot x_{2} = - 2 \Rightarrow x_{2} = \frac{2}{9}$

In der letzten Matrix lautet die $2.$ Zeile:

$x_{1} + 3 \cdot x_{2}$	$=$	$2$	$- 3 \cdot x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$x_{1}$	$=$	$2 - 3 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{2} = \frac{2}{9}$ ein.
$x_{1}$	$=$	$2 - 3 \cdot \frac{2}{9}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{4}{3}$

In der letzten Matrix lautet die $1.$ Zeile:

$1 \cdot x_{3} + 2 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2}$	$=$	$2$	$- 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Löse nach $x_{3}$ auf.
$x_{3}$	$=$	$2 - 2 \cdot x_{1} - 1 \cdot x_{2}$
	↓	Setze $x_{1} = \frac{4}{3}$ und $x_{2} = \frac{2}{9}$ ein.
$x_{3}$	$=$	$2 - 2 \cdot \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{2}{9}$
$x_{3}$	$=$	$2 - \frac{8}{3} - \frac{2}{9}$
	↓	Erweitere auf den Nenner $9$ .
	$=$	$\frac{18}{9} - \frac{24}{9} - \frac{2}{9}$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{3}$	$=$	$- \frac{8}{9}$

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:

𝕃 = {\frac{4}{3}; \frac{2}{9}; - \frac{8}{9}}

Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $S (\frac{4}{3} | \frac{2}{9} | - \frac{8}{9})$ .

Anmerkung: Wenn man die $3$ Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt $S$ schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.

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