Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Das stilisierte Fischlogo des Marineclubs soll neu lackiert werden. Dazu braucht der Maler die Fläche des Logos.

Die orangefarbene Randfunktion ist gegeben durch $g (x) = - \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: partielle Integration

$A_{g e s a m t} = A_{1} + A_{2}$

Zur Flächenberechnung benötigst du eine Stammfunktion $G (x)$ der Funktion $g (x) = - \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ :

$G (x) = \int_{}^{} (- \frac{x}{2}) \cdot \sqrt{x + 2} d x = - \frac{1}{2} \int_{}^{} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$

Das Integral kann mit partieller Integration berechnet werden. (Der Vorfaktor wird zunächst nicht berücksichtigt.)

Die partielle Integration berechnet mit folgender Formel das Integral über ein Produkt von zwei Funktionen: $\int_{}^{} u^{'} (x) \cdot v (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int_{}^{} u (x) \cdot v^{'} (x) d x$

Es soll das Integral $\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$ berechnet werden.

Setze dazu $u^{'} (x) = \sqrt{x + 2}$ und $v (x) = x$

Berechne nun $u (x)$ durch Integration von $\sqrt{x + 2}$

$u^{'} (x)$	$=$	$\sqrt{x + 2}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz.
	$=$	$(x + 2)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Integriere über $x$ .
$u (x)$	$=$	$\int_{}^{} (x + 2)^{\frac{^{1}}{2}} d x$
	↓	Wende die Regel für Potenzfunktionen an.
	$=$	$\frac{(x + 2)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{(x + 2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$

Somit ist $u (x) = \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$ und $v^{'} (x) = 1$ .

Nun kann die partielle Integration durchgeführt werden.

$\int_{}^{} u^{'} (x) \cdot v (x) d x$	$=$	$u (x) \cdot v (x) - \int_{}^{} u (x) \cdot v^{'} (x) d x$
	↓	Setze $u (x) = \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}}$ und $v (x) = x$ und $v^{'} (x) = 1$ ein.
$\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot x - \int_{}^{} \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Berechne nun das hintere Integral durch Anwendung der Regel für Potenzfunktionen:

$\int_{}^{} \frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d x = \frac{2}{3} \int_{}^{} (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x$

$\frac{2}{3} \int_{}^{} (x + 2)^{\frac{3}{2}} d x$	$=$	$\frac{2}{3} (\frac{(x + 2)^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{2}{3} (\frac{(x + 2)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}}$

Damit folgt für die Berechnung von $\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$ :

$\int_{}^{} \sqrt{x + 2} \cdot x d x$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot x - \frac{4}{15} (x + 2)^{\frac{5}{2}}$
	↓	Vereinfache die rechte Seite durch Ausklammern von $(x + 2)^{\frac{3}{2}}$ .
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{2}{3} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot (x + 2))$
	↓	Vereinfache die hintere Klammer.
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{2}{3} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{10}{15} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	$=$	$(x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{6}{15} \cdot x - \frac{8}{15})$
	↓	Klammere $\frac{2}{15}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)$

Eine Stammfunktion lautet somit:

$G (x) = - \frac{1}{2} \int_{}^{} x \cdot \sqrt{x + 2} d x = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)$

G (x) = - \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)

Berechne nun die Fläche $A_{1}$ :

Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist $x = - 2$ und die obere Grenze ist $x = 0$ .

$A_{1} = 2 \cdot \int_{- 2}^{0} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$

$\int_{- 2}^{0} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$	$=$	${[- \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)]}_{- 2}^{0}$
	↓	Setze die Grenzen ein.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot (0 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 0 - 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot (- 2 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot (- 2) - 4))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot (- 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \cdot (- 6 - 4))$
	↓	Vereinfache. Wegen $0^{\frac{^{3}}{2}} = 0$ entfällt die hintere Klammer. $2^{\frac{^{3}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2}$
	$=$	$\frac{4}{15} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}$
	$=$	$\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}$

Die Fläche $A_{1}$ ist dann $2 \cdot \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} m^{2}$ .

Berechne nun die Fläche $A_{2}$ :

Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist $x = 0$ und die obere Grenze ist $x = 1$ . Hier verläuft $g (x)$ unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag des Integrals berechnet:

$A_{2} = 2 \cdot | \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x |$

$\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x$	$=$	${[- \frac{1}{15} \cdot (x + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 x - 4)]}_{0}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot (1 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 1 - 4)) - (- \frac{1}{15} \cdot (0 + 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (3 \cdot 0 - 4))$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(- \frac{1}{15} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot (- 1)) - (- \frac{1}{15} \cdot (2)^{\frac{3}{2}} \cdot (- 4))$
	↓	Vereinfache. $3^{\frac{^{3}}{2}} = 3 \cdot \sqrt{3}$ und $2^{\frac{^{3}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2}$ .
	$=$	$(\frac{1}{15} \cdot 3 \cdot \sqrt{3}) - (\frac{4}{15} \cdot 2 \cdot \sqrt{2})$
	↓	Kürze und vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}$

Die Fläche $A_{2}$ kann nun angegeben werden:

$A_{2} = 2 \cdot | \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x + 2} d x |$ $\Rightarrow$

$A_{2} = 2 \cdot | \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} |$

$| \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} | = - (\frac{1}{5} \cdot \sqrt{3} - \frac{8}{15} \cdot \sqrt{2}) = (\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3})$

$A_{2} = 2 \cdot (\frac{8}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{5} \cdot \sqrt{3}) = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

Die Fläche $A_{2}$ ist dann $(\frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}) m^{2}$ .

$A_{g e s a m t} = A_{1} + A_{2} = \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} + \frac{16}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

$A_{g e s a m t} = \frac{32}{15} \cdot \sqrt{2} - \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3}$

$A_{g e s a m t} \approx 2,32 m^{2}$

Der Maler muss eine Fläche von etwa $2,32 m^{2}$ lackieren.

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