Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels, von dem nur drei Seiten beschriftet sind.

Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl $1$ zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Es wird viermal gewürfelt. Dabei soll bei den ersten $3$ Würfen keine $1$ gewürfelt werden. Erst der $4$ . Wurf darf auf die $1$ fallen.
$4$ Seiten des Würfels tragen keine $1$ $\Rightarrow$ $P (1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$2$ Seiten des Würfels tragen eine $1$ $\Rightarrow$ $P (1) = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P (Es wird 4 mal geworfen.) = P (1, 1, 1, 1) = {(\frac{2}{3})}^{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau viermal gewürfelt wird, beträgt $\frac{8}{81}$ .
Die drei leeren Seiten des Würfels sollen jeweils mit einer positiven geraden Zahl beschriftet werden. Ermitteln Sie eine Möglichkeit für die Beschriftung der drei Seiten, sodass bei einmaligem Werfen des Würfels der Erwartungswert für die erzielte Zahl $\frac{31}{6}$ beträgt. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Die drei leeren Seiten des Würfels werden mit $u$ , $v$ und $w$ beschriftet.
Für den Erwartungswert beim Würfeln mit diesem Würfel gilt:
$\begin{array}{ccl} E (X) & = & x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) + \dots + x_{6} \cdot P (X = x_{6}) \end{array}$
Für diesen Würfel ergeben sich folgenden Werte:
$x_{i}$
$P (X = x_{i})$
$1$
$\frac{2}{6}$
$7$
$\frac{1}{6}$
$u$
$\frac{1}{6}$
$v$
$\frac{1}{6}$
$w$
$\frac{1}{6}$
Diese Werte in die Formel für den Erwartungswert eingesetzt, erhält man:
$E (X) = 1 \cdot \frac{2}{6} + 7 \cdot \frac{1}{6} + u \cdot \frac{1}{6} + v \cdot \frac{1}{6} + w \cdot \frac{1}{6} = \frac{2 + 7 + u + v + w}{6}$
Nach Aufgabenstellung soll dieser Erwartungswert $\frac{31}{6}$ sein.
$\frac{31}{6}$ $=$ $\frac{2 + 7 + u + v + w}{6}$ $\cdot 6$
$31$ $=$ $9 + u + v + w$ $- 9$
$22$ $=$ $u + v + w$
Für die $3$ Platzhalter dürfen nach Aufgabenstellung nur positive, gerade Zahlen verwendet werden. Daher gibt es beliebig viele Lösungen.
Mögliche Lösungen sind z.B. $u = 2$ , $v = 2$ und $w = 18$ oder $u = 4$ , $v = 6$ und $w = 12$ .

$x_{i}$	$P (X = x_{i})$
$1$	$\frac{2}{6}$
$7$	$\frac{1}{6}$
$u$	$\frac{1}{6}$
$v$	$\frac{1}{6}$
$w$	$\frac{1}{6}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{31}{6}$	$=$	$\frac{2 + 7 + u + v + w}{6}$	$\cdot 6$
$31$	$=$	$9 + u + v + w$	$- 9$
$22$	$=$	$u + v + w$