Teil A

Aufgabe A2

Punkte $B_{n} (x | 0,5 x - 4)$ und Punkte $C_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = 0,5 x - 4$ (⁣ $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ). Sie sind für $x > - 4,25$ zusammen mit dem Punkt $A (0 | 0)$ und Punkten $D_{n}$ Eckpunkte von Trapezen $A B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Es gilt: $∢ B_{n} A D_{n} = 45 °; A D_{n} = \frac{1}{2} \cdot A B_{n};$ [ $A B_{n}$ ] $‖$ [ $D_{n} C_{n}$ ].

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Im Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Trapez $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 3$ bereits eingezeichnet.
Zeichnen Sie das Trapez $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2$ ein. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Im Trapez $A B_{3} C_{3} D_{3}$ gilt: $∢ C_{3} B_{3} A = 90 °$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $x$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Berechnung $B_{3}$ :
Wenn in $B$ ein rechter Winkel sein soll, so steht auch eine Gerade $h$ (auf der $A B_{n}$ liegt) auf $g$ senkrecht:
Aufstellen der Geradengleichung $h$ :
Um die Steigung von $h$ zu erhalten, nimmt man den negativen Kehrwert der Steigung von $g$ : $m_{h} = - \frac{2}{1} = - 2$
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 0,$ da $A (0 | 0)$ ist.
$\Rightarrow$ $h : y = - 2 x + 0$
Schneidet man $h$ mit $g$ (gleichsetzen der beiden Geraden), so erhält man den Punkt $B_{3}$ :
$g = h \Rightarrow$ $\frac{1}{2} x - 4 = - 2 x | + 2 x$
$\frac{5}{2} x - 4 = 0 | + 4$
$\frac{5}{2} x = 4 | \cdot \frac{2}{5}$
$x = \frac{8}{5} = 1,6$
einsetzen in $g$ (oder $h$ ):
$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} - 4$
$y = \frac{8}{10} - \frac{4 \cdot 10}{10}$
$y = - \frac{32}{10} = - 3,2$
$\Rightarrow$ $B_{3}$ $(1,6 | - 3,2)$
Damit ist die Aufgabe gelöst: $𝕃 = {1,6}$
Als Zusatz werden nun die Koordinaten von $C_{3}$ und $D_{3}$ ohne Verwendung von Matrizen berechnet.
Berechnung $C_{3}$ :
Überlegung:
Das $△ A H D_{n}$ ist aufgrund der Bedingung $∢ D_{n} A B_{n} = 45 °$ gleichschenklig.
Die Seite $[H D_{n}]$ lässt sich mit dem Pythagoras berechnen. Sie ist genauso lang wie die Seite $[B_{n} C_{n}]$ .
Wiederum lässt sich damit über den Pythagoras der Punkt $C_{3}$ berechnen.
Gleichschenkligkeit: $H D_{n} = A H$
$A D_{n} = \sqrt{{H D_{n}}^{2} + {H D_{n}}^{2}} = \sqrt{2 \cdot {H D_{n}}^{2}}$
$A D_{n} = \sqrt{2 \cdot {H D_{n}}^{2}}$
$A D_{n} = \sqrt{2} \cdot H D_{n}$ |: $\sqrt{2}$
$\frac{A D_{n}}{\sqrt{2}} = H D_{n} = B_{n} C_{n} = 1,27$
$B_{n} C_{n} = \sqrt{(x_{C} - 1,6)^{2} + (- 3,2 - y_{C})^{2}}$ $|^{2}$
${B_{n} C_{n}}^{2} = (x_{C} - 1,6)^{2} + (- 3,2 - y_{C})^{2}$ | $y_{C}$ durch die Geradengleichung von $g$ ersetzen, da $C_{n}$ auf $g$ liegen muss.
${B_{n} C_{n}}^{2} = (x_{C} - 1,6)^{2} + (- 3,2 - (0,5 x_{C} - 4))^{2}$
${B_{n} C_{n}}^{2} = (x_{C} - 1,6)^{2} + (- 3,2 - 0,5 x_{C} + 4)^{2}$
${B_{n} C_{n}}^{2} = (x_{C} - 1,6)^{2} + (0,8 - 0,5 x_{C})^{2}$ |Anwendung Binome
${B_{n} C_{n}}^{2} = x_{C}^{2} - 2 \cdot x_{C} \cdot 1,6 + {1,6}^{2} + {0,8}^{2} - 2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 x_{C} + 0,25 x_{C}^{2}$ |in den folgenden Zeilen wird vereinfacht.
${B_{n} C_{n}}^{2} = x_{C}^{2} - 3,2 \cdot x_{C} + 2,56 + 0,64 - 0,8 x_{C} + 0,25 x_{C}^{2}$
${B_{n} C_{n}}^{2} = 1,25 x_{C}^{2} - 4 x_{C} + 3,2$
${1,27}^{2} = 1,25 x_{C}^{2} - 4 x_{C} + 3,2$ | $- {1,27}^{2}$
$1,25 x_{C}^{2} - 4 x_{C} + 1,59 = 0$ |Lösung der quadratischen Gleichung
$x_{1,2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1,25 \cdot 1,59}}{2 \cdot 1,25} = \frac{4 \pm \sqrt{8,05}}{2,5}$
$x_{1} = 2,73; x_{2} = 0,47$
Anhand des Graphen kann man sehen, dass nur $x_{1} = 2,73$ infrage kommen kann, da dieser Wert größer als der $x$ -Wert von $B$ sein muss.
$x_{1}$ in g einsetzen:
$g : y = 0,5 \cdot 2,73 - 4$ $= - 2,63$
$\Rightarrow$ $C_{3} (2,73 | - 2,63)$
Berechnung $D_{3}$ :
Zunächst einmal wird der Punkt $H$ berechnet. Anschließend wird $H$ in die Gleichung $g^{'} : y = 0,5 x + t$ eingesetzt. Erklärung: Da $H D_{n} ∥ B_{n} C_{n}$ kann die gleiche Steigung verwendet werden. Dadurch erhält man die Funktion, auf der auch $D_{n}$ liegt.
Setzt man nun mittels des Pythagoras die Länge von $A D_{n}$ in die obere lineare Funktion ein, so erhält man den Punkt $D_{n}$ .
Berechnung $H$ :
Es gilt: $y = - 2 x \land \sqrt{x^{2} + y^{2}} = A H$ ( $A H = H D_{n} b z w . B_{n} C_{n} = 1,27)$
$\sqrt{x^{2} + (- 2 x)^{2}} = 1,27$
$\sqrt{x^{2} + 4 x^{2}} = 1,27$
$\sqrt{5 x^{2}} = 1,27$
$\sqrt{5} \cdot x = 1,27$
$x = \frac{1,27}{\sqrt{5}}$ |eingesetzt in $y = - 2 x$
$y = - 2 \cdot \frac{1,27}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow$ $H (\frac{1,27}{\sqrt{5}} | - 2 \cdot \frac{1,27}{\sqrt{5}})$
$H$ in $y = 0,5 x + t$ eingesetzt:
$- 2 \cdot \frac{1,27}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1,27}{\sqrt{5}} + t \Rightarrow t = - 1,41$
$\Rightarrow g^{'} : \to y = 0,5 x - 1,41$
Aus der Gleichschenkligkeit von $△ A H D_{n} \Rightarrow A D_{n} = \sqrt{2} \cdot 1,27$
Es gilt: $y = 0,5 \cdot x - 1,41 \land \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$\sqrt{x^{2} + (0,5 x - 1,41)^{2}} = 1,27 \cdot \sqrt{2}$ $|^{2}$
$x^{2} + (0,5 x - 1,41)^{2} = {1,27}^{2} \cdot 2$ |Anwendung 2. Binom
$x^{2} + 0,25 x^{2} - 2 \cdot 0,5 x \cdot 1,41 + {1,41}^{2} = {1,27}^{2} \cdot 2$
$1,25 x^{2} - 1,41 x + {1,41}^{2} = 3,23 | - 3,23$
$1,25 x^{2} - 1,41 x - 1,24 = 0$
$x_{1 / 2} = \frac{- (- 1,41) \pm \sqrt{(- 1,41)^{2} - 4 \cdot 1,25 \cdot (- 1,24)}}{2 \cdot 1,25}$
$x_{1 / 2} = \frac{- (- 1,41) \pm \sqrt{8,2}}{2 \cdot 1,25}$
$x_{1} = 1,7; x_{2} = - 0,58$
Anhand des Graphen kann man sehen, dass nur $x_{1} = 1,7$ infrage kommen kann, da dieser Wert größer als der $x -$ Wert von $H$ sein muss.
$x_{1}$ in $g^{'} : \to y = 0,5 x - 1,41$ einsetzen
$y = 0,5 \cdot 1,7 - 1,41$
$y = - 0,56$
$\Rightarrow$ $D_{3}$ $(1,7 | - 0,56)$
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $D_{n} (0,18 x + 1,41 | 0,53 x - 1,41)$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehmatrizen
Drehe den Vektor $\vec{O B_{n}} = (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x - 4 \end{array})$ mithilfe einer Matrix um $45^{\circ}$ um den Ursprung und multipliziere dann mit $\frac{1}{2}$ , weil die Strecke $O D_{n}$ halb so lang wie $O B_{n}$ ist.
Die Matrix einer Drehung um $45^{\circ}$ wird hier schon angegeben:
$(\begin{array}{rcl} \cos 45 ° - \sin 45 ° \\ \sin 45 ° \cos 45 ° \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$
Du erhältst damit
$\vec{O D_{n}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ 0,5 x - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,18 x + 1,41 \\ 0,53 x - 1,41 \end{array})$
$\Rightarrow D_{n} (0,18 x + 1,41 | 0,53 x - 1,41)$
Berechnen Sie die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ und zeichnen Sie diesen in das Koordinatensystem zu 2a) ein. (3 P)

Es ist $D_{n} (0,18 x + 1,41 | 0,53 x - 1,41)$ .
$\Rightarrow x_{D_{n}} = 0,18 x + 1,41$ und $y_{D_{n}} = 0,53 x - 1,41$
Löse $x_{D_{n}}$ nach $x$ auf und setze in $y_{D_{n}}$ ein:
$x_{D_{n}}$ $=$ $0,18 x + 1,41$ $- 1,41$
↓
Löse nach $x$ auf.
$x_{D_{n}} - 1,41$ $=$ $0,18 \cdot x$ $: 0,18$
↓
Vertausche die Seiten.
$x$ $=$ $\frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18}$
Setze in $y_{D_{n}}$ ein:
$y_{D_{n}}$ $=$ $0,53 x - 1,41$
↓
Setze $\frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18}$ ein.
$=$ $0,53 \cdot \frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18} - 1,41$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $2,94 \cdot x_{D_{n}} - 5,56$
Also ist die Gleichung des Trägergraphen $t : y = 2,94 x - 5,56$
Einzeichnen des Trägergraphens:

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{D_{n}}$	$=$	$0,18 x + 1,41$	$- 1,41$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x_{D_{n}} - 1,41$	$=$	$0,18 \cdot x$	$: 0,18$
	↓	Vertausche die Seiten.
$x$	$=$	$\frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18}$

$y_{D_{n}}$	$=$	$0,53 x - 1,41$
	↓	Setze $\frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18}$ ein.
	$=$	$0,53 \cdot \frac{x_{D_{n}} - 1,41}{0,18} - 1,41$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$2,94 \cdot x_{D_{n}} - 5,56$