Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Betrachtet wird die Schar der Funktionen $f_{a, b, c} : x \mapsto \frac{a x + b}{x^{2} + c}$ mit $a, b, c \in ℝ$ und maximaler Definitionsmenge $D_{a, b, c}$ .

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von $a, b$ und $c$ an. (1P)

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 hat den Funktionsterm $\frac{6 \cdot x}{x^{2} - 4}$
Die Funktionenschar $f_{a, b, c}$ hat den Funktionsterm $\begin{array}{l} \frac{a x + b}{x^{2} + c} \\ \Rightarrow a = 6 \land b = 0 \land c = - 4 \end{array}$
Begründen Sie: Wenn $a = 0$ und $b \neq 0$ gilt, dann ist der Graph von $f_{a, b, c}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse und schneidet die x-Achse nicht. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
$f_{0, b, c} (x) = \frac{b}{x^{2} + c}$
Der Graph von $f_{0, b, c}$ ist symmetrisch zur $y -$ Achse, denn der Zähler $Z (x) = b$ ist als Konstante symmetrisch zur $y -$ Achse und der Nenner $N (x) = x^{2} + c$ ist als ganzrationale Funktion mit nur geraden Hochzahlen symmetrisch zur $y -$ Achse.
Und somit ist der Quotient aus dem zur $y -$ Achse symmetrischen Zähler und Nenner symmetrisch zur $y -$ Achse.
Oder $f_{0, b c} (x) = f_{0, b, c} (- x) \forall x \in ℝ ⟺ \frac{b}{x^{2} + c} = \frac{b}{(- x)^{2} + c}$ wahr.
Die Funktion schneidet die x-Achse nicht, da der Zähler wegen $b \neq 0$ nicht $0$ werden kann.
Geben Sie für $a, b$ und $c$ alle Werte an, sodass sowohl $D_{a, b, c} = ℝ$ gilt als auch, dass der Graph von $f_{a, b, c}$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der x-Achse ist. (3P)
Für die erste Ableitung von $f_{a, b, c}$ gilt: $f_{a, b, c}^{'} (x) = - \frac{a x^{2} + 2 b x - a c}{(x^{2} + c)^{2}}$ .
Zeigen Sie: Wenn $a \neq 0$ und $c > 0$ gilt, dann besitzt der Graph von $f_{a, b, c}$ genau zwei Extrempunkte. (4P)

Der Graph $f_{{a, b, c}}$ hat genau zwei Extrempunkte, wenn $f_{{a, b, c}}^{'}$ zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.
Das Vorzeichen von $f_{{a, b, c}}^{'}$ wird vom Zählerterm von $f_{{a, b, c}}^{'} (x)$ bestimmt, da der Nennerterm als Quadrat positiv ist.
Da $a \neq 0$ vorausgesetzt ist, wird der Zählerterm durch eine Parabel graphisch dargestellt. Wenn der Zählerterm zwei verschiedene Nullstellen hat, so gibt es genau zwei Extrempunkte.
$\begin{array}{l} a \cdot x^{2} + 2 \cdot b x - a \cdot c = 0 ⟺ x^{2} + \frac{2 b}{a} \cdot x - c = 0 \\ ⟺ x^{2} + \frac{2 b}{a} \cdot x = c ⟺ x^{2} + \frac{2 b}{a} \cdot x + (\frac{b}{a})^{2} = c \\ ⟺ (x + \frac{b}{a})^{2} = c + (\frac{b}{a})^{2} \end{array}$
Da $c > 0$ vorausgesetzt wurde ist die Summe $c + (\frac{b}{a})^{2} > 0$ und es gibt zwei verschiedene Nullstellen von $f_{a, b, c}^{'}$ :
$x_{1} = - \frac{b}{a} + \sqrt{(\frac{b}{a})^{2} + c}$ und $x_{2} = - \frac{b}{a} - \sqrt{(\frac{b}{a})^{2} + c}$ .
Damit hat $f_{a, b, c}$ genau zwei Extrempunkte.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org