Mathe Geometrie Analytische Geometrie Kreise und Kugeln Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufgaben zur Kugelgleichung

Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel $K$ dar. Bestimme den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ der Kugel.

$K : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} + 8 x_{3} = - 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} + 8 x_{3}$	$=$	$- 11$
	↓	linke Seite sortieren
$x_{1}^{2} - 4 x_{1} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 8 x_{3}$	$=$	$- 11$
	↓	quadratische Ergänzung anwenden
$(x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 4 - 4) + x_{2}^{2} + (x_{3}^{2} + 8 x_{3} + 16 - 16)$	$=$	$- 11$
	↓	binomische Formel anwenden
$(x_{1} - 2)^{2} - 4 + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2} - 16$	$=$	$- 11$
	↓	linke Seite vereinfachen
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2} - 20$	$=$	$- 11$	$+ 20$
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 0)^{2} + (x_{3} + 4)^{2}$	$=$	$9$

Die allgemeine Koordinatenform lautet:

$K : (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}$

Vergleichst du die erhaltene quadratische Gleichung mit der allgemeinen Form, so kannst du die Mittelpunktskoordinaten und den Radius ablesen: $M (2 | 0 | - 4)$

Da $r^{2} = 9$ ist, hat die Kugel einen Radius von $r = 3$ .

Antwort: Der Kugelmittelpunkt hat die Koordinaten $M (2 | 0 | - 4)$ und der Radius ist $r = 3$ .

Sortiere die linke Seite der quadratischen Gleichung so, dass du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung jeweils ein quadriertes Binom entsteht. Aus der dann erhaltenen Gleichung kannst du die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ablesen.

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