Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, muss man die Funktion gleich $0$ setzen.

$e^x\cdot (2x+x^2)=0$

Da $e^x$ nie $0$ werden kann, muss man nur $2x+x^2$ gleich $0$ setzen.

$2x+x^2=0$

$x\cdot (2+x)$

$\Rightarrow x=0$

$\Rightarrow 2+x=0\Rightarrow x=-2$

Stammfunktion

$F^{\prime }(x)=x^2\cdot e^x$

$=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$

$=e^x\cdot (2x+x^2)$

$F(1)=e^1\cdot (2\cdot 1+1^2)$

$=2e+1$

$\Rightarrow G(x)=x^2\cdot e^x-1$

Man muss in die herausgefundene Stammfunktion $F(x)$ $1$ einsetzten. Dann erkennt man, dass der Unterschied von $F(1)$ zu $G(1)$ eine $+1$ bei $F(1)$ ist. Deshalb muss man wieder $1$ subtrahieren um auf den richtigen Wert von $G$ zu kommen. Dies geht, da alle Stammfunktionen sich nur durch die Verschiebung auf der y-Achse unterscheiden.