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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$ .

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
$f (x) = e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) = 0$
$e^{x}$ kann nicht $0$ sein
$\Rightarrow$ $2 x + x^{2} = 0$ | $- 2 x$
$x^{2} = - 2 x$ | $: x$
$x = - 2$
$2 x = 0$
$x = 0$
$x^{2} = 0$
$x = 0$
$\Rightarrow$ $x_{1} = - 2$
$x_{2} = 0$
Die Nullstellen liegen bei $x = - 2$ und $x = 0$ .
Zeigen Sie, dass die in $ℝ$ definierte Funktion $F$ mit $F (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G (1) = 2 \cdot e$ gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
$\int_{}^{} f (x) d x$
$=$ $\int_{}^{} e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) d x$
$=$ $\int_{}^{} (2 x + x^{2}) \cdot e^{x} d x$
$=$ $((2 x + x^{2}) \cdot e^{x}) - \int_{}^{} (2 x + x^{2})^{'} \cdot e^{x} d x$
$=$ $((2 x + x^{2}) \cdot e^{x}) - ((2 + 2 x) \cdot e^{x})$
$=$ $e^{x} \cdot ((2 x + x^{2}) - (2 + 2 x))$
$=$ $e^{x} \cdot (2 x + x^{2} - 2 - 2 x)$
$=$ $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x - 2 x - 2)$
$=$ $e^{x} \cdot (x^{2} - 2)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org