Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{n} : x \mapsto x^{4} - 2 x^{n}$ mit $n \in ℕ$ sowie dir in $ℝ$ definierte Funktion $f_{0} : x \mapsto x^{4} - 2$ .

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen $f_{0}, f_{1}, f_{2}$ bzw $f_{4}$ . Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsenoder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ganzrationale Funktionen
Hier musst du dich mit ganzrationale Funktionen und Eigenschaften von Funktionen wie Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und das Verhalten im Unendlichen auskennen.
Graph $f_{0}$ gehört zur Abb. 4
$f_{0} (x) = x^{4} - 2 x^{0} = x^{4} - 2 \cdot 1 = x^{4} - 2$ , da $x^{0} = 1$ .
Der Schnittpunkt von $f_{0}$ mit der $y$ -Achse ist bei $S_{y} (0 | - 2)$ , da $f_{0} (0) = - 2$ ist:
$f_{0} (0) = 0^{4} - 2 = - 2$
Die Abb. 4 ist die einzige Abbildung, bei der der Graph die $y$ -Achse bei $y = - 2$ schneidet.
Graph $f_{1}$ gehört zur Abb. 3
$f_{1} (x) = x^{4} - 2 x^{1} = x^{4} - x$
$f_{1}$ ist nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse:
$f_{1} (- x) = (- x)^{4} - (- x) = x^{4} + x \neq f_{1} (x)$
Der einzige Graph, der nicht achsensymmetrisch ist, ist auf Abbildung 3 zu sehen.
Graph $f_{2}$ gehört zur Abb. 1
$f_{2} (x) = x^{4} - 2 x^{2} = x^{4} - x^{2}$
$f_{2}$ hat 3 Nullstellen:
$x^{4} - x^{2} = 0$
Faktorisiere, indem du $x^{2}$ ausklammerst.
$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$
Faktorisiere mit Hilfe der 3. binomischen Formel weiter.
$x^{2} (x - 1) (x + 1) = 0$
Bestimme die Nullstellen, indem du die Faktoren wegen dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich null setzt.
$x_{0}^{2} = 0 \Rightarrow x_{0} = 0$ und $x_{1} - 1 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1$ und $x_{2} + 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1$
Die Abbildung 1 ist die einzige, wo der Graph $3$ Nullstellen hat. Also gehört $f_{2}$ zu Abb. 1.
Graph $f_{4}$ gehört zur Abb.2
$f_{4} (x) = x^{4} - 2 x^{4} = x^{4} - x^{4} = - x^{4}$
$f_{4}$ ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades (also eine gerade Funktion) mit einem Faktor, der kleiner als $0$ ist. Das heißt, dass die Funktion im Unendlichen von "links unten" nach "rechts unten" verläuft.
Der einzige Graph, bei dem das der Fall ist, ist die Abb. 2.
Anmerkung: Du musst für die Erfüllung der Aufgabenstellung nur drei der mathematischen Argumente aufschreiben. Den vierten Graphen kann man dann nach Ausschlussprinzip zuordnen.
Betrachtet werden nun die Funktionen $f_{n}$ mit $n > 4$ . Geben Sie in Abhängigkeit von $n$ das Verhalten dieser Funktionen für $x \to + \infty$ und für $x \to - \infty$ an. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ganzrationale Funktionen
Auch hier musst du wissen, wie sich ganzrationale Funktionen im Unendlichen verhalten.
Für das Verhalten im Unendlichen ist der höchste Exponent sowie das Vorzeichen vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten entscheidend.
Für $n > 4$ ist immer $n$ der höchste Exponent, weil $n$ ja genau größer als $4$ sein soll. Der Summand ist damit $- 2 x^{n}$ und hat ein negatives Vorzeichen.
Bei einem negativen Vorzeichen verlaufen gerade Funktionen von "links unten" nach "rechts unten" und ungerade Funktionen von "links oben" nach "rechts unten".
Für ein gerades $n$ verläuft die Funktion von "links unten" nach "rechts unten":
$\lim_{x \to - \infty} f_{n} (x) = - \infty$ und $\lim_{x \to + \infty} f_{n} (x) = - \infty$
Für ein ungerades $n$ verläuft die Funktion von "links oben" nach "rechts unten".
$\lim_{x \to - \infty} f_{n} (x) = + \infty$ und $\lim_{x \to + \infty} f_{n} (x) = - \infty$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Graph f0 gehört zur Abb. 4

Graph f1 gehört zur Abb. 3

Graph f2 gehört zur Abb. 1

Graph f4 gehört zur Abb.2

Graph $f_{0}$ gehört zur Abb. 4

Graph $f_{1}$ gehört zur Abb. 3

Graph $f_{2}$ gehört zur Abb. 1

Graph $f_{4}$ gehört zur Abb.2