Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Der Graph $G_{f}$ einer in $ℝ$ definierten Funktion $f : x \mapsto a x^{4} + b x^{3}$ mit $a, b \in ℝ$ besitzt im Punkt O $(0 | 0)$ einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

W $(1 | - 1)$ ist ein weiterer Wendepunkt von $G_{f}$ . Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von $a$ und $b$ . (4 BE)
$(E r g e b n i s : a = 1, b = - 2)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Für diese Aufgabe musst du wissen, was ein Wendepunkt ist. Außerdem musst du ein lineares Gleichungssystem lösen können.
Du weißt, dass der Punkt $(1 | - 1)$ ein Wendepunkt der Funktion ist. Daraus erhältst du zwei Informationen, aus denen du zwei lineare Gleichungen machen kannst:
Information 1
Der Punkt $(1 | - 1)$ ist ein Punkt der Funktion. Du kannst den $x$ -Wert und $y$ -Wert in die allgemeine Funktion einsetzen und erhältst so eine Gleichung:
$f (1) = a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} = a + b = - 1$
Information 2
Der Punkt $(1 | - 1)$ ist ein Wendepunkt, also ist die 2. Ableitung an dieser Stelle, $x = 1$ , null. Um eine Gleichung zu erhalten, musst du die 2. Ableitung bilden, für $x$ den Wert $1$ einsetzen und gleich null setzen.
Ableitung $f^{'} (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2}$
Ableitung $f^{''} (x) = 4 \cdot 3 a x^{2} + 3 \cdot 2 b x = 12 a x^{2} + 6 b x$
Setze gleich null und $1$ ein: $f^{''} (1) = 12 a \cdot 1^{2} + 6 b \cdot 1 = 12 a + 6 b = 0$
Nun hast du ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:
$\begin{aligned} (I) & a + b & = & - 1 \\ (I I) & 12 a + 6 b & = & 0 | : 6 \end{aligned}$
Vereinfache die zweite Gleichung.
Gleichungssystem lösen
Es gibt mehrere Verfahren, wie man Gleichungensysteme lösen kann. Hier kann man zum Beispiel das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren gut verwenden. Exemplarisch folgt nun die Berechnung mit dem Einsetzungsverfahren.
$\begin{aligned} (I) & a + b & = & - 1 | - a \\ (I I) & 2 a + b & = & 0 \end{aligned}$
Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $b$ .
$\begin{array}{rrl} (I) & b & = & - 1 - a \\ (I I) & 2 a + b & = & 0 \end{array}$
Ersetze in Gleichung $(I I)$ $b$ mithilfe von Gleichung $(I)$ .
$\begin{array}{rrl} (I I) & 2 a + (- 1 - a) & = & 0 \\ a - 1 & = & 0 | + 1 \end{array}$
Löse nach a auf
$a = 1$
Setze das Ergebnis von $a$ in die Gleichung $(I)$ ein und löse nach $b$ auf.
$(I) b = - 1 - 1 = - 2$
Bei dieser Funktion ist $a = 1$ und $b = - 2$ :
$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ .
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_{f}$ . (4 BE)
Die Gerade $g$ schneidet $G_{f}$ in den Punkten $W$ und $(2 | 0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrempunkte
Hier musst du wissen, wie man Extrempunkte bestimmt.
Extremstelle
Der erste Schritt ist dabei, die Ableitung gleich Null zu setzen. Du kannst die Ableitung aus der Teilaufgabe a) verwenden und dort noch $a$ und $b$ einsetzen:
$f^{'} (x) = 4 \cdot 1 \cdot x^{3} + 3 \cdot (- 2) \cdot x^{2} = 4 x^{3} - 6 x^{2}$
$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$
Löse die Gleichung nach $x$ auf, indem du $x^{2}$ ausklammerst.
$x^{2} (4 x - 6) = 0$
Nun kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die beiden Faktoren getrennt gleich Null setzen.
$x^{2} = 0$ und $4 x - 6 = 0$
Löse beide Gleichungen nach $x$ auf.
$x = 0$ und $x = \frac{3}{2}$
Art des Extrempunkts
Von $x = 0$ weißt du bereits aus der Aufgabenstellung, dass es sich um einen Wendepunkt handelt.
$x = \frac{3}{2}$ musst du nun in die 2. Ableitung (auch diese kannst du aus Teilaufgabe a) übernehmen) einsetzen, um herauszufinden, welcher Art dieser Extrempunkt ist.
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x$
$f^{''} (\frac{3}{2}) = 12 {(\frac{3}{2})}^{2} - 12 \cdot \frac{3}{2} = 27 - 18 = 9 > 0$
Die 2. Ableitung ist größer als Null, deswegen handelt es sich um ein Minimum.
Lage des Extrempunkts
Für die Lage des Extrempunkts fehlt dir noch der $y$ -Wert des Extrempunktes. Diesen berechnest du, indem du den $x$ -Wert $\frac{3}{2}$ in die Funktion einsetzt.
$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{81}{16} - 2 \frac{27}{8} = \frac{81}{16} - \frac{108}{16} = - \frac{27}{16}$
Der Extrempunkt liegt bei $(\frac{3}{2} | - \frac{27}{16})$ und ist ein Minimum.
Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_{f}$ sowie die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden $g$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Für diese Teilaufgabe musst du Graphen zeichnen können und die Geradengleichung kennen.
Graph zeichnen
Dabei kannst du in etwa so vorgehen:
Zeichne alle Punkte ein, die du kennst:
Der Punkt $0$ $(0 | 0)$ ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
Der Punkt $W$ $(1 | - 1)$ ist ein weiterer Wendepunkt.
Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass bei $(\frac{3}{2} | - \frac{27}{16})$ ein Minimum liegt.
Du weißt aus der Geradenbeschreibung in der Aufgabenstellung, dass auch der Punkt $(2 | 0)$ auf dem Graphen liegt.
Du hast in der Teilaufgabe b) alle Extrempunkte bestimmt und herausgefunden, dass es außer dem Minimum bei $x = \frac{3}{2}$ keine weiteren Extrempunkte gibt. Deswegen weißt du, dass es links von dem Minimum nur nach oben geht und rechts vom Minimum auch nur nach oben geht, sonst wäre es nicht das einzige Extremum. Alternativ kommst du auf dasselbe Ergebnis, wenn du dir anschaust, dass die Funktion eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist. Es ist eine gerade Funktion mit positiven Vorfaktor und geht deswegen von "links oben" nach "rechts oben".
Mit diesem Wissen fängst du links oben an, zeichnest durch alle Punkte (beachte dabei die Eigenschaften Wendepunkt und Minimum) und endest wieder rechts oben.
Gerade zeichnen
Eine Gerade ist eindeutig, sobald du zwei Punkte weißt, also kannst du sie einfach durch die beiden angegebenen Punkte $W$ und $P$ zeichnen.
Graph
Geradengleichung angeben
Die allgemeine Geradengleichung ist $y = m x + t$ . Also musst du die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ bestimmen.
$t$ kannst du aus der Zeichnung ablesen:
$t = - 2$
Du kannst zum Beispiel $W$ und $P$ und ein Steigungsdreieck für die Steigung verwenden.
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{0 - (- 1)}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
Die vollständige Geradengleichung $g$ lautet: $y = 1 \cdot x - 2$ und damit $g (x) = x - 2$ .

$G_{f}$ und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade $g$ in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. (6 BE)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Bilde die Stammfunktion.
	↓
$\int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{3} d x$	$=$	${[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{4} x^{4}]}_{0}^{1}$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{2} \cdot 0^{4})$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\frac{1}{5} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{2}{10} - \frac{5}{10}$
	$=$	$- \frac{3}{10}$

Bilde die Stammfunktion.
	↓
$\int_{1}^{2} (x - 2) d x$	$=$	${[\frac{1}{2} x^{2} - 2 x]}_{1}^{2}$
	↓	Setze die Werte ein und rechne aus.
	$=$	$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1)$
	$=$	$2 - 4 - \frac{1}{2} + 2$
	$=$	$- \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{2} (f (x) - g (x)) d x$	$=$	$\int_{1}^{2} (x^{4} - 2 x^{3} - (x - 2)) d x$
	↓	Bilde die Stammfunktion.
	$=$	$\int_{1}^{2} (x^{4} - 2 x^{3} - (x - 2)) d x$
	$=$	${[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{2}$
	↓	Setze die Grenzen ein und rechne aus.
	$=$	$(\frac{1}{5} \cdot 2^{5} - \frac{1}{2} \cdot 2^{4} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{2} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1)$
	$=$	$- \frac{4}{5}$

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Information 1

Information 2

Gleichungssystem lösen

Extremstelle

Art des Extrempunkts

Lage des Extrempunkts

Graph zeichnen

Gerade zeichnen

Graph

Geradengleichung angeben

Lila Fläche

Orange Fläche

Türkise Fläche

Berechnung des Verhältnisses