Teil A

Zum Einzeichnen des Dreiecks mit $\phi =50°$ gehst du am besten so vor, dass du als Erstes $\frac{\phi }{2}=25°$ an beiden Seiten von $[\mathrm{CM}]$ anträgst (rote Winkel in der Zeichnung). Dadurch erhältst du einen Winkel von $\phi =50°$ und erfüllst die Aufgabenstellung.

Damit du die Höhe gleich bleibt sind die Eckpunkte des neuen Dreiecks die Schnittpunkte deiner "Winkelschenkel" (orangene Halbgeraden) mit der Strecke $[AB]$.

Das neue Dreieck $A_2{B}_{2}C$ ist in der Zeichnung orange hinterlegt.

Lösungsideen und Hinweise:

• In der Aufgabe steht, dass $\mathrm{A}(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ ist. Das heißt allerdings nicht, dass man das verwenden darf, sondern nur, dass man es als Ergebnis herausbekommen soll, wenn man den Flächeninhalt der Dreiecke ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}$ bestimmt. $\to$ Rechne daher so, als sei der Flächeninhalt von Dreieck ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{C}$ gesucht und versuche, dabei auf die Formel zu kommen.

• "in Abhängigkeit von $\phi$" heißt, dass $\phi$ im Ergebnis stehen bleiben darf und kein Wert für $\phi$ eingesetzt werden soll (insbesondere also weder die 80° aus der Angabe zur Aufgabenstellung noch die $50°$ aus A.1.1).

Formel für Flächeninhalt $\mathrm{\Delta }{A}_n{B}_{n}C$ in Abhängigkeit von $\phi$ aufstellen

Es gibt verschiedenen Arten, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen. Hier in diesem Fall

• versuchst du es am besten mit der Formel $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

• und nimmst dabei

• als Grundlinie $g$ die Strecke $[{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}]$

• und als Höhe $h$ die Strecke $[\mathrm{CM}]$.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{\mathrm{CM}}$

In der Aufgabe ist $\overline{\mathrm{CM}}=5\mathrm{cm}$ angegeben. Das ist unabhängig davon, wie groß $\phi$ ist.

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}\cdot 5\mathrm{cm}$

$\frac{1}{2}\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}$ kannst du zu $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ zusammenfassen oder du setzt $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}=2\cdot \overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ in die Formel ein und vereinfachst:

Term für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ aufstellen

Zur Bestimmung von $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ betrachte das Dreieck $\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}$ (oranges Dreieck).

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}\mathrm{C}$ ist rechtwinklig. Daher kannst du die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.

Stelle den Tangens auf, weil dieser in der angegebenen Formel verwendet wird.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{CM}}}}$

Die Formel für $\tan (\frac{\phi }{2})$ stellst du nach $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ um, indem du mit $\overline{\mathrm{CM}}$ multiplizierst.

$\tan (\frac{\phi }{2})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{CM}}}}|\cdot \overline{\mathrm{CM}}$

$\tan (\frac{\phi }{2})\cdot \overline{\mathrm{CM}}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$

Für $\overline{\mathrm{CM}}$ kannst du natürlich wieder $5\mathrm{cm}$ einsetzen.

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}=\tan (\frac{\phi }{2})\cdot 5\mathrm{cm}$

Dadurch erhältst du für $\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}$ einen Term, den du in den Term von oben

$A_{\mathrm{\Delta }}=\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\cdot 5\mathrm{cm}$ einsetzen kannst.

Formel zusammensetzen

Damit hast du - wenn du die Faktoren vertauscht - das gewünschte Ergebnis erhalten und gezeigt, dass gilt:

$A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Lösungsideen

Gegeben:

Der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}$ ist um $25\%$ größer als der Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$

Lösungsplan:

1. Berechne zuerst den Flächeninhalt von ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$, indem du $\phi =50°$ in die Formel für $A(\phi )$ einsetzt.

• Berechne $125\%$ von der Zahl, die du als Flächeninhalt erhalten hast. Das ist dann der Wert des Flächeninhalts von ${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\mathrm{C}$.

• Setze diesen Wert mit dem Term aus der Formel von $A(\phi )$ gleich und löse dann nach $\phi$ auf.

Lösung

Fläche des Dreiecks ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$ berechnen

Für das Dreieck ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}$ ist nach Aufgabe (a) der Wert von $\phi =50°$.

Setze $\phi =50°$ in die Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$aus A.1.2 ein.

$A(50°)=25\cdot \tan \frac{50°}{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Rechne das mit dem Taschenrechner aus.

Du darfst das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma runden.

$A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}=A(50°)\approx \mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

(Für die weitere Rechnung ist es aber besser, wenn du das Ergebnis ungerundet speicherst und damit weiterrechnest; auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet wird dann erst das Endergebnis.)

$25\%$ dazu rechnen

Um $25\%$ zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ dazuzurechnen, kannst du entweder

• $25\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ ausrechnen und dann zu $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ addieren,

oder

• gleich $100\%+25\%=125\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ berechnen.

$125\%$ von $A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}$ kannst du mit den Formeln zur Prozentrechnung oder mit dem Dreisatz berechnen. In jedem Fall erhältst du:

${\displaystyle \frac{125\cdot A_{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}}}{100}}=\mathrm{1,25}\cdot A(50°)\approx \mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

Anmerkung: Wenn du mit dem gerundeten Ergebnis $\mathrm{11,66}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ für $A(50°)$ gerechnet hast, erhältst du jetzt nach Rundung $\mathrm{14,58}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

Winkel $\phi$ ausrechnen

Der gesuchte Winkel $\phi$ muss gerade so groß sein, dass sich der gewünschte Flächeninhalt ergibt:

Setze daher die "allgemeine" Formel $A(\phi )=25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ gleich mit dem Wert, den die Fläche haben soll und löse nach $\phi$ auf.

$25\cdot \tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

So sieht die Gleichung aus, wenn du das gerundete Ergebnis verwendest. Teile durch $25$

$$\tan \frac{\phi }{2}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{14,57}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}{25}}$$

Wende ${\tan }^{-1}$ an. $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ kannst du weglassen, weil es auf beiden Seiten steht.

$${\displaystyle \frac{\phi }{2}={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)}}$$

Multipliziere mit $2$

$${\displaystyle \phi ={\displaystyle {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{14,57}}{25}\right)\cdot 2=\mathrm{60,47}°}}$$

Wenn du statt des gerundeten Wertes $\mathrm{14,57}$ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ den originalen Wert einsetzt, erhältst du das Ergebnis in diesem Fall das gleiche Ergebnis $\mathrm{60,47}°$.