Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto (x^{3} - 8) \cdot (2 + \ln x)$ mit maximalem Definitionsbereich $𝔻$ .

Geben Sie $𝔻$ an. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
Überlege dir, welche Funktionen einen eingeschränkten Definitionsbereich haben. Der $\ln (x)$ gehört dazu, er ist nur in $ℝ^{+}$ definiert. Sonst gibt es keine Einschränkungen, also ist $𝔻 = ℝ^{+}$ .
Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du die Funktion gleich Null setzen.
$(x^{3} - 8) \cdot (2 + \ln x) = 0$
Ein Produkt ergibt Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist (Satz vom Nullprodukt).
Überlege dir, wann der erste Faktor $(x^{3} - 8)$ Null ergibt:
$\begin{array}{lll} x^{3} - 8 & = 0 \\ x^{3} & = 8 & | \sqrt[3]{} \\ x & = 2 \end{array}$
Überlege dir, wann der zweite Faktor $(2 + \ln x)$ Null ergibt. Achte dabei darauf, dass $e^{\ln x} = x$ ist.
$\begin{array}{lll} 2 + \ln x & = 0 \\ \ln x & = - 2 & | e^{()} \\ x & = e^{- 2} \end{array}$
Die Nullstellen von $f$ sind also $x = 2$ und $x = e^{- 2}$ .