Allgemeine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment hat die vier Elementarereignisse

$Ω = {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4}}$

Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten von drei Ereignissen $E_{1}$

bis $E_{3}$ gegeben.

$E_{1} : = {ω_{1}, ω_{2}}$ ; $P (E_{1}) = 0,2$

$E_{2} : = {ω_{3}}$ ; $P (E_{2}) = 0,5$

$E_{3} : = {ω_{4}}$ ; $P (E_{3}) = 0,5$

Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer $1$ betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie $1,2$ beträgt.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
Ändere $P (E_{3})$ so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Es muss gelten:
$P (E_{1}) + P (E_{2}) + P (E_{3}) = 1$
Löse nach $P (E_{3})$ auf.
$1 - P (E_{1}) - P (E_{2}) = P (E_{3})$
Setze die Werte aus der Angabe ein.
$1 - 0,2 - 0,5 = 0,3$
$\Rightarrow P (E_{3}) = 0,3$
Die Summe aller Ergebnisse muss 1 betragen.
Berechne $P ({ω_{1}})$ unter der Voraussetzung, dass $ω_{1}$ mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie $ω_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Aus der Angabe ist bekannt:
$P (E_{1}) = P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
Die Wahrscheinlichkeit $P ({ω_{1}})$ von $ω_{1}$ soll doppelt so groß sein wie $P ({ω_{2}})$ von $ω_{2}$ .
Da die Wahrscheinlichkeit von Elementarereignissen direkt addiert werden kann, gilt außerdem:
$P ({ω_{1}; ω_{2}})$ $=$ $P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
↓
Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
$0,2$ $=$ $2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
↓
Fasse zusammen
$0,2$ $=$ $3 \cdot P ({ω_{2}})$ $: 3$
$P ({ω_{2}})$ $=$ $\frac{1}{15}$
Da $P ({ω_{2}}$ ) doppelt so groß ist wie $P ({ω_{1}})$ ist
$P ({ω_{1}}) = \frac{2}{15}$
Stelle eine Gleichung auf und löse diese.

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$P ({ω_{1}; ω_{2}})$	$=$	$P ({ω_{1}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Ersetze $P ({ω_{1}}) = 2 \cdot P ({ω_{2}})$ und $P ({ω_{1}; ω_{2}}) = 0,2$
$0,2$	$=$	$2 \cdot P ({ω_{2}}) + P ({ω_{2}})$
	↓	Fasse zusammen
$0,2$	$=$	$3 \cdot P ({ω_{2}})$	$: 3$
$P ({ω_{2}})$	$=$	$\frac{1}{15}$