Aufgaben zum Abstand

Die gegebene Parameterform der Ebene $E$ wird zunächst in die Normalenform umgewandelt. Dazu berechnest du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 2\end{array}\right)$mit Faktor 2 verkürzt gilt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Anschließend setzt du diesen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und den Aufpunkt aus der Parameterform für $\overrightarrow{OA}$ in die Normalenform $\overrightarrow{n}\circ (\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA})=0$ ein.

$E:\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)]=0$

Aus dieser Normalenform entsteht die Hessesche Normalenform indem du die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors $|\overrightarrow{n}|$ teilt.

$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{6}$ .

$E_{HNF}:\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)]=0$

Um den Abstand $d(P;E)$ des Punktes $P$ von der Ebene $E$ zu berechnen, setzt du den Vektor $\overrightarrow{OP}$ für $\overrightarrow{OX}$ in die Hessesche Normalenform ein:

$\begin{array}{l}d(P;E)=|\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)]|\\ =|\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\circ \left[\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)\right]|\\ =\left|\frac{1}{\sqrt{6}}(-2-4+0)\right|\\ =\left|\frac{-6}{\sqrt{6}}\right|\\ =\sqrt{6}\end{array}$

Antwort: Der Punkt $P$ hat somit den Abstand $\sqrt{6}\approx \mathrm{2,45}LE$ von der Ebene $E$.

Nachteil dieser Methode: Es wird nur der Abstand berechnet. Der Lotfußpunkt kann nicht angegeben werden.