Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit $20$ Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.
geg:
$n = 100$
$p = 0,2$
$k = 0$
$P$ $=$ $(\begin{array}{c} 100 \\ 0 \end{array}) \cdot {0,2}^{0} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 0}$
↓
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
$=$ $\frac{100!}{0! (100 - 0)!} \cdot {0,2}^{0} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 0}$
$=$ $\frac{100!}{100!} \cdot {0,2}^{0} \cdot {0,8}^{100}$
$=$ ${0,8}^{100}$
$\approx$ $2,037 \cdot 10^{- 10} \approx 2,037 \cdot 10^{- 8} %$
$\Rightarrow$ Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Bohrmaschine ein Ausschussstück ist, beträgt $2,037 \cdot 10^{- 8} %$ .
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.
geg:
$n = 100$
$p = 0,2$
$k = 20$
$P$ $=$ $(\begin{array}{c} 100 \\ 20 \end{array}) \cdot {0,2}^{20} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 20}$
↓
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
$=$ $\frac{100!}{20! (100 - 20)!} \cdot {0,2}^{20} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 20}$
$=$ $\frac{100!}{20! \cdot 80!} \cdot {0,2}^{20} \cdot {0,8}^{80}$
$\approx$ $0,0993 \approx 9,9 %$
$\Rightarrow$ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen Ausschussstücke sind, beträgt 9,9%
BeachteVerwendung des Taschenrechners
Ein Taschenrechner kann den Befehl $n!$ nur für $n \leq 69$ verarbeiten. Die obige Berechnung kann also nicht mit dem $T R$ erfolgen.
Alternative Berechnungen
Benutze den Befehl "nCr". In diesem Fall $100 n C r 20 \cdot {0,2}^{20} \cdot {0,8}^{80} \approx 0,0993$
Verwende Binomial $P D$ und setze für $x = 20$ , $N = 100$ und $p = 0,2$ , also $B (100; 0,2; 20) \approx 0,0993$ .
Auch mit einer Binomialverteilungstabelle kann der Wert gefunden werden (siehe den folgenden ausklappbaren Text).

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$P$	$=$	$(\begin{array}{c} 100 \\ 0 \end{array}) \cdot {0,2}^{0} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\frac{100!}{0! (100 - 0)!} \cdot {0,2}^{0} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 0}$
	$=$	$\frac{100!}{100!} \cdot {0,2}^{0} \cdot {0,8}^{100}$
	$=$	${0,8}^{100}$
	$\approx$	$2,037 \cdot 10^{- 10} \approx 2,037 \cdot 10^{- 8} %$

$P$	$=$	$(\begin{array}{c} 100 \\ 20 \end{array}) \cdot {0,2}^{20} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 20}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\frac{100!}{20! (100 - 20)!} \cdot {0,2}^{20} \cdot {(1 - 0,2)}^{100 - 20}$
	$=$	$\frac{100!}{20! \cdot 80!} \cdot {0,2}^{20} \cdot {0,8}^{80}$
	$\approx$	$0,0993 \approx 9,9 %$

Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Alternative Berechnungen