Teil 1 Analysis

In der Abbildung sehen Sie ausschnittsweise eine Parabel. Diese ist der Graph der Ableitungsfunktion $f^{'}$ der Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ .

Leiten Sie nachvollziehbar aus dem Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion $f^{'}$ die Lage und Art der lokalen Extremstellen von $f$ ab. Begründen Sie, weshalb die relativen Extrempunkte des Graphen von $f$ nicht absolut sein können.

Aus der Skizze der Ableitungsfunktion $f^{'} (x)$ liest man ab: $f^{'} (- 1) = 0$ und $f^{'} (2) = 0$ . Damit hat der Graph von $f$ an den Stellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 2$ eine waagerechte Tangente.
An der Stelle $x_{1} = - 1$ hat die Funktion $f^{'}$ einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ . Also ist hier ein Maximum von $f$ . $H (- 1 | f (- 1))$ .
An der Stelle $x_{2} = 2$ hat die Funktion $f^{'}$ einen Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+ .$ Also ist hier ein Minimum von $f$ . $T (- 2 | f (2))$
Da der Graph der 1. Ableitung eine Parabel ist, ist $f^{'}$ vom Grad 2. Also ist die Funktion $f$ vom Grad 3. Da der Vorfaktor von $x^{2}$ positiv ist, gilt das auch für den Vorfaktor von $x^{3}$ in $f$ . Damit wächst der Graph $G_{f}$ mit wachsendem $x$ über jede Grenze und fällt mit fallendem $x_{}$ unter jede Grenze.
Das können wir auch als $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ schreiben.
Extrema liegen an Nullstellen der 1. Ableitung, sofern an den Nullstellen ein Vorzeichenwechsel erfolgt.
Bestimmen Sie anhand des Graphen $G_{f^{'}}$ die Lage der Wendestelle von $f$ und entscheiden Sie begründet, ob die Wendetangente des Graphen der Funktion $f$ steigt oder fällt.

Die Wendestelle $x_{w}$ von $f$ ist mit der Extremstelle von $f^{'}$ identisch und liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 2$ von $f^{'}$ . Also ist $x_{w} = \frac{1}{2}$ . Wegen $f^{'} (x_{w}) < 0$ fällt der Graph $G_{f}$ an der Wendestelle $x_{w}$ . Also fällt auch die Wendetangente.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org