Aufgaben zum graphischen Lösen von Gleichungssystemen

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}x+y& =& 5& |-x\\ y& =& -x+5& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}-2x+3y& =& 6& |+2x\\ 3y& =& 2x+6& |:3\\ y& =& \frac{2}{3}x+2& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}8x+2y& =& 16& |-8x\\ 2y& =& -8x+16& |:2\\ y& =& -4x+8& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}16x+4y& =& 32& |-16x\\ 4y& =& -16x+32& |:4\\ y& =& -4x+8& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen $(\text{I})$ und $(\text{II})$ beschreiben die gleiche lineare Funktion. Daher ist für jedes $x\in ℝ$ $(x|y)=(x|-4x+8)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}5x-2y& =& 2& |+2y-2\\ 5x-2& =& 2y& \\ 2y& =& 5x-2& |:2\\ y& =& \frac{5}{2}x-1& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}15x-6y& =& -24& |+6y+24\\ 15x+24& =& 6y& \\ 6y& =& 15x+24& |:6\\ y& =& \frac{15}{6}x+4& \\ y& =& \frac{5}{2}x+4& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.

Die entsprechenden Geraden, die sich aus dem linearen Gleichungssystem ergeben, sind zueinander parallel und schneiden sich nicht.

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}5x+3y& =& 6& |-5x\\ 3y& =& -5x+6& |:3\\ y& =& -\frac{5}{3}x+2& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}-y+7& =& 0& |+y\\ y& =& 7& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}-3x+4y& =& 10& |+3x\\ 4y& =& 3x+10& |:4\\ y& =& \frac{3}{4}x+\mathrm{2,5}& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}-x+5y& =& \mathrm{17,5}& |+x\\ 5y& =& x+\mathrm{17,5}& |:5\\ y& =& \frac{1}{5}x+\mathrm{3,5}& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.

$(\text{I})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}x+3y& =& 9& |-x\\ 3y& =& -x+9& |:3\\ y& =& -\frac{1}{3}x+3& \end{array}$

$(\text{II})$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}{rcll}-3x+4y& =& 6& |+3x\\ 4y& =& 3x+6& |:4\\ y& =& \frac{3}{4}x+\mathrm{1,5}& \end{array}$

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.