Mathe Bayern Gymnasium Abiturprüfungen Bayern - Mathematik mit Lösungen Mathematik Abitur Bayern 2019 Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben sind die beiden Kugeln $k_{1}$ mit Mittelpunkt $M_{1} (1 | 2 | 3)$ und Radius 5 sowie $k_{2}$ mit Mittelpunkt $M_{2} (- 3 | - 2 | 1)$ und Radius 5.

a)

(2 BE)

Zeigen Sie, dass sich $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden.

b)

(3 BE)

Die Schnittfigur von $k_{1}$ und $k_{2}$ ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit Kugelgleichungen.

Lösung Teilaufgabe a)

(2 BE)

Kugel $k_{1}$ : Mittelpunkt $M_{1} (1 | 2 | 3)$ und Radius $5$ .

Kugel $k_{2}$ : Mittelpunkt $M_{2} (- 3 | - 2 | 1)$ und Radius $5$ .

Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der beiden Radien.

Beachte: Beide Kugeln haben gleichen Radius. Also kann nicht eine Kugel im Inneren der anderen liegen.

Dies musst du zeigen: $M_{1} M_{2} < 2 r$

$M_{1} M_{2}$	$=$	$\| (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \|$
	$=$	$\| (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \|$
	$=$	$\sqrt{16 + 16 + 4}$
	$=$	$6 < 10$

Die beiden Kugeln $k_{1}$ und $k_{2}$ schneiden sich.

Lösung Teilaufgabe b)

(3 BE)

Berechnung des Mittelpunktes des Schnittkreises

Da beide Kugeln gleichen Radius haben, ist der Mittelpunkt $M$ des Schnittkreises der Mittelpunkt der Strecke $[M_{1} M_{2}]$ .

Somit erhältst du:

$\vec{O M}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot (\vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}})$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array})]$