Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

(3 BE)

Gegeben sind die drei Eckpunkte $A(5|-4|-3)$, $B(5|4|3)$ und $C(0|4|3)$ eines Rechtecks $ABCD$. Die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ und des Mittelpunktes der Diagonalen $[AC]$ sind zu berechnen.

Was du als gegeben betrachten darfst:

Der Innenwinkel $\beta$ beim Eckpunkt $B$

beträgt $90°$. (Sonst würde $ABCD$ kein Rechteck ergeben können!)

Da Gegenseiten im Rechteck parallel und gleich lang sind, erhältst du den Eckpunkt $D$ so:

$D(0|-4|-3)$ ist der gesuchte vierte Eckpunkt des Vierecks.

Die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte der Strecke.

Also gilt für den gesuchten Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ der Strecke $[AC]$:

$$m_1={\displaystyle \frac{5+0}{2}=\mathrm{2,5}}$$und

$$m_2={\displaystyle \frac{-4+4}{2}=0}$$und

$$m_3={\displaystyle \frac{-3+3}{2}=0}$$

$M(\mathrm{2,5}|0|0)$ ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke $[AC]$.

(2 BE)

Für eine Dreiecksfläche gilt:

$$A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \text{Grundlinie}\cdot \text{Höhe}}$$

Beide Dreiecke haben eine gleich lange Grundlinie

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}=\frac{1}{2}\cdot \overline{AC}$

und die gleiche dazugehörige Höhe, den Abstand des Punktes $B$ von der Grundlinie.

Somit haben die Dreiecke $BCM$ und $ABM$ den gleichen Flächeninhalt.