Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen von $f (x)$ und $g (x)$ ?

Stelle die Scheitelpunktgleichungen auf und vergleiche diese.

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f (x)$
Lese den Scheitelpunkt der Funktion $f (x)$ ab:
$S (1 | 4)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
$f (x) = a_{f} \cdot (x - 1)^{2} + 4$
Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
Mit $P (0 | 3)$ gilt:
$\begin{array}{rcl} f (0) & = & a_{f} + 4 \\ 3 & = & a_{f} + 4 & | - 4 \\ - 1 & = & a_{f} \end{array}$
Setze $a_{f}$ in die Funktion ein.
$f (x) = - {(x - 1)}^{2} + 4$
Bestimmung der Funktionsgleichung von $g (x)$
Lese den Scheitelpunkt der Funktion $g (x)$ ab:
$S (1 | 2)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung der Funktion ermitteln.
$g (x) = a_{g} \cdot (x - 1)^{2} + 2$
Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
Mit $P (3 | 0)$ gilt:
$\begin{array}{rcl} g (3) & = & a_{g} \cdot 2^{2} + 2 \\ 0 & = & 4 \cdot a_{g} + 2 & | - 2 \\ - 2 & = & 4 a_{g} & | : 4 \\ - 0,5 & = & a_{g} \end{array}$
Setze $a_{g}$ in die Funktion ein.
$g (x) = - 0,5 {(x - 1)}^{2} + 2$
Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
Die Scheitelpunkte und der Streckungsfaktor sind unterschiedlich.
Die beiden Funktionen schneiden die x-Achse beide in den Punkten $P_{1} (3 | 0)$ und $P_{2} (- 1 | 0)$ .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f (x)$
Lese den Scheitelpunkt $S$ von $f (x)$ ab:
$S (1 | 1)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
$f (x) = a_{f} {(x - 1)}^{2} - 1$
Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.
Mit $P (0 | 0)$ gilt:
$\begin{array}{rcl} f (0) & = & a_{f} - 1 \\ 0 & = & a_{f} - 1 & | - 1 \\ - 1 & = & a_{f} \end{array}$
Setze $a_{f}$ in die Gleichung ein.
$f (x) = {(x - 1)}^{2} - 1$
Bestimmung der Funktionsgleichung von $g (x)$
Lese den Scheitelpunkt von $g (x)$ ab:
$S (1 | 1)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
$g (x) = a_{g} {(x - 1)}^{2} + 1$
Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.
Wähle z.B. $P (0 | 2)$ . Mit $P$ gilt:
$\begin{array}{rcl} g (0) & = & a_{g} + 1 \\ 2 & = & a_{g} + 1 & | - 1 \\ a_{g} & = & 1 \end{array}$
Setze $a_{g}$ in die Funktion ein.
$g (x) = {(x - 1)}^{2} + 1$
Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
Die beiden Funktionen haben den gleichen Streckungsfaktor $a$ und die gleiche x-Komponente des Scheitelpunktes.
Die Funktionen unterscheiden sich lediglich in der y-Koponente des Scheitels.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f (x)$
Lese den Scheitelpunkt von $f (x)$ ab:
$S (2 | 1)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
$f (x) = a_{f} \cdot {(x - 2)}^{2} + 1$
Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
Mit $P (1 | 2)$ gilt:
$\begin{array}{rcl} f (1) & = & a_{f} + 1 \\ 2 & = & a_{f} + 1 & | - 1 \\ 1 & = & a_{f} \end{array}$
Setze $a_{f}$ in die Gleichung ein.
$f (x) = {(x - 2)}^{2} + 1$
Bestimmung der Funktionsgleichung von $g (x)$
Lese den Scheitelpunkt von $g (x)$ ab:
$S (2 | 1)$
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
$g (x) = a_{g} \cdot {(x - 2)}^{2} - 1$
Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
Mit $P (1 | - 2)$ gilt:
$\begin{array}{rcl} g (1) & = & a_{g} - 1 \\ - 2 & = & a_{g} - 1 & | + 1 \\ - 1 & = & a_{g} \end{array}$
Setze $a_{g}$ in die Gleichung ein.
$g (x) = - {(x - 2)}^{2} - 1$
Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
$g (x)$ ist die Spiegelung von $f (x)$ an der x-Achse.