Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Funktionsterme bestimmen

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades $f(x)$ mit dem Hochpunkt $\mathrm{HP}\left(0|1\right)$ (hier ist $f^{\prime }(x)=0$) und dem Tiefpunkt $\mathrm{TP}(2|-3)$ (hier ist $f^{\prime }(x)=0$). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.

Die allgemeine Funktion $3.$ Grades lautet:

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ und die erste Ableitung ist dann:

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$

Nach der Tabelle ergibt die Gleichung $(\mathrm{I})$:

$1=a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 0+d\Rightarrow d=1$

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ergibt: $0=3a\cdot 0+2b\cdot 0+c\Rightarrow c=0$

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:

$-3=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+0\cdot 2+1$$\Rightarrow -3=8a+4b+1\Rightarrow -4=8a+4b$$\Rightarrow -1=2a+b\Rightarrow b=-1-2a$

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{V})$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:

$0=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+0\Rightarrow 0=12a+4b\Rightarrow 0=3a+b$

Das Ergebnis aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ $b=-1-2a$ in $(\mathrm{I}\mathrm{V})$ $0=3a+b$ eingesetzt ergibt:

$0=3a+(-1-2a)=3a-1-2a=a-1\Rightarrow a=1$

Mit $a=1$ folgt in $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):$ $b=-1-2\cdot 1=-3$

Antwort: Die Funktion $3.$ Grades lautet: $f(x)=x^3-3x^2+1$

Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion $g(x)$. Aus der Abbildung kannst du die Steigung $m=1$ und den $y$-Achsenabschnitt $t=-2$ ablesen: $\Rightarrow g(x)=x-2$

Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: $g(x)=x-2$

Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen

"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.

Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: $S_1(-1|-3);S_2(1|-1);S_3(3|1)$

Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Flächeninhalt:

$A=A_1+A_2={\int }_{-1}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x+{\int }_1^3(g(x)-f(x))\mathrm{d}x$

Berechnung von $A$:

$f(x)-g(x)=x^3-3x^2+1-(x-2)=x^3-3x^2-x+3$

$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-(x^3-3x^2-x+3)=-x^3+3x^2+x-3$

$A_1={\int }_{-1}^1(x^3-3x^2-x+3)\mathrm{d}x={[\frac{1}{4}\cdot x^4-x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2+3x]}_{-1}^1$

$=(\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}+3)-(\frac{1}{4}-(-1)-\frac{1}{2}+3\cdot (-1))=\mathrm{1,75}-(-\mathrm{2,25})=4$

$A_2={\int }_1^3(-x^3+3x^2+x-3)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{4}\cdot x^4+x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2-3x]}_1^3$

$=(-\frac{1}{4}\cdot 3^4+3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2-3\cdot 3)-(-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2}-3)=\mathrm{2,25}-(-\mathrm{1,75})=4$

$A_{gesamt}=A_1+A_2=4+4=8$

Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt $8\mathrm{FE}$.