Steckbriefaufgaben

Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der die folgenden Bedingungen erfüllt.

Die Funktion ist vom Grad 3, der $y$ -Achsenabschnitt liegt bei $y = \frac{8}{3}$ , sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x = 1$ und hat eine Wendestelle bei $x = - 2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:
Funktion vom Grad $3$
$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
$f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
$y$ -Achsenabschnitt bei $y = \frac{8}{3}$
$\Rightarrow f (0) = \frac{8}{3}$
$a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = d = \frac{8}{3}$
Doppelte Nullstellen bei $x = 1$
$\Rightarrow f (1) = 0$
$\Rightarrow f^{'} (1) = 0$
$a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + d = 0$
$3 a \cdot 1^{2} + 2 b \cdot 1 + c = 0$
Wendestelle bei $x = - 2$
$\Rightarrow f^{''} (- 2) = 0$
$6 a \cdot (- 2) + 2 b = 0$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem
$\begin{array}{rrll} I & \frac{8}{3} & = & d \\ II & 0 & = & a & + & b & + & c & + & d \\ III & 0 & = & 3 a & + & 2 b & + & c \\ IV & 0 & = & - 12 a & + & 2 b \end{array}$
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Aus der ersten Gleichung folgt direkt: $d = \frac{8}{3}$ .
Setze $d = \frac{8}{3}$ in Gleichung $II$ ein.
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 0 & = & a & + & b & + & c & + & \frac{8}{3} \\ III & 0 & = & 3 a & + & 2 b & + & c \\ IV & 0 & = & - 12 a & + & 2 b \end{array}$
Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach $b$ in Gleichung $IV$ aufgelöst wird.
$\begin{array}{rrll} IV & 0 & = & - 12 a & + & 2 b & | - 2 b \\ - 2 b & = & - 12 a & | : (- 2) \\ b & = & 6 a \end{array}$
Nun kannst du $b = 6 a$ in der Gleichung $III$ ersetzen und dann nach $c$ auflösen:
$\begin{array}{rrll} I I I^{'} & 0 & = & 3 a & + & 2 \cdot 6 a & + & c \\ 0 & = & 15 a & + & c & | - 15 a \\ - 15 a & = & c \end{array}$
Nun kannst du $c = - 15 a$ in der Gleichung $I I^{'}$ ersetzen und dann nach $a$ auflösen:
$\begin{array}{rrll} I I^{''} & 0 & = & a & + & 6 a & - & 15 a & + & \frac{8}{3} & | - \frac{8}{3} \\ - \frac{8}{3} & = & - 8 a & | : (- 8) \\ \frac{1}{3} & = & a \end{array}$
Aus Gleichung $IV$ weißt du, dass $b = 6 a$ . Setze $a = \frac{1}{3}$ in diese Gleichung ein.
$b = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$
Aus Gleichung $I I I^{'}$ weißt du, dass $c = - 15 a$ . Setze $a = \frac{1}{3}$ in diese Gleichung ein.
$c = - 15 \cdot \frac{1}{3} = - 5$
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a = \frac{1}{3}$ , $b = 2$ , $c = - 5$ , und $d = \frac{8}{3}$ den Funktionsterm auf.
$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + \frac{8}{3}$
Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt waagrechte Tangenten bei $x = 0$ und $x = 1$ und hat im Punkt $P (2 | 8)$ eine Steigung von $m = 12$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: steckbirefaufgabe
Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen.
Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:
Funktion vom Grad $3$
$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$
Waagrechte Tangenten bei $x = 0$ und $x = 1$
$\Rightarrow f^{'} (0) = 0$
$\Rightarrow f^{'} (1) = 0$
$3 a \cdot 0^{2} + 2 b \cdot 0 + c = c = 0$
$3 a \cdot 1^{2} + 2 b \cdot 1 + c = 0$
Im Punkt $P (2 | 8)$ eine Steigung von $m = 12$
$\Rightarrow f (2) = 8$
$\Rightarrow f^{'} (2) = 12$
$a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c \cdot 2 + d = 8$
$3 a \cdot 2^{2} + 2 b \cdot 2 + c = 12$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{rrll} I & 0 & = & c \\ II & 0 & = & 3 a & + & 2 b & + & c \\ III & 8 & = & 8 a & + & 4 b & + & 2 c & + & d \\ IV & 12 & = & 12 a & + & 4 b & + & c \end{array}$
Löse das Lineare Gleichungssystem.
Aus der ersten Gleichung folgt direkt: $c = 0$ .
Setze $c = 0$ in die Gleichungen $II$ , $III$ und $IV$ ein.
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 0 & = & 3 a & + & 2 b & + & 0 \\ = & 3 a & + & 2 b \\ I I I^{'} & 8 & = & 8 a & + & 4 b & + & 2 \cdot 0 & + & d \\ = & 8 a & + & 4 b & + & d \\ I V^{'} & 12 & = & 12 a & + & 4 b & + & 0 & | : 4 \\ 3 & = & 3 a & + & b \end{array}$
Welches Verfahren du zum Lösen des Linearen Gleichungssystems anwenden möchtest, bleibt dir überlassen. Hier wird das Einsetzungsverfahren verwendet, indem z.B. nach $b$ in Gleichung $I I^{'}$ aufgelöst wird.
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 0 & = & 3 a & + & 2 b & | - 3 a \\ - 3 a & = & 2 b & | : 2 \\ - \frac{3}{2} a & = & b \end{array}$
Nun kannst du $b = - \frac{3}{2} a$ in der Gleichung $IV$ ersetzen und dann nach $c$ auflösen:
$\begin{array}{rrll} I V^{''} & 3 & = & 3 a & - & \frac{3}{2} a \\ = & \frac{3}{2} a & | : \frac{3}{2} \\ 2 & = & a \end{array}$
Aus Gleichung $I I^{'}$ weißt du, dass $b = - \frac{3}{2} a$ . Setze $a = 2$ in diese Gleichung ein.
$b = - \frac{3}{2} \cdot 2 = - 3$
Nun kannst du $a = 2$ und $b = - 3$ in der Gleichung $I I I^{'}$ ersetzen und dann nach $d$ auflösen:
$\begin{array}{rrll} I I I^{'} & 8 & = & 8 a & + & 4 b & + & d \\ 8 & = & 8 \cdot 2 & + & 4 \cdot (- 3) & + & d \\ = & 16 & - & 12 & + & d \\ = & 4 & + & d & | - 4 \\ 4 & = & d \end{array}$
Stelle nun mit den herausgefundenen Koeffizienten $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 0$ , und $d = 4$ den Funktionsterm auf.
$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

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