Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 2 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 12 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 8 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 12 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ 9 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 1 \end{array})$

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 0,25 \\ 3 \\ 5 \end{array})$ und $\vec{v} = (\begin{array}{c} 4 \\ - \frac{2}{3} \\ 0,2 \end{array})$

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$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|}$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 2 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 2 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{2 \cdot 6 + (- 1) \cdot 7 + 5 \cdot 2}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{6^{2} + 7^{2} + 2^{2}}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}$
	↓	Verwende den Gegenkosinus, um den Winkel zu ermitteln.

$\cos (φ)$	$=$	$\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|}$
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 9 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\frac{5 \cdot 2 + 1 \cdot 8 + 9 \cdot (- 2)}{\sqrt{5^{2} + 1^{2} + 9^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 8^{2} + (- 2)^{2}}}$
	$=$	$0$