Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

Stelle aus den folgenden drei Punkten eine Ebenengleichung in Parameterform auf.

$A (1; 0; 3)$ , $B (0; 2; 1)$ , $C (2; 2; 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$A (0; 1; 2)$ , $B (3, 3; 3)$ , $C (- 1; 1; 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
$A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 3)$ , $C (- 1; 2; 0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
Wähle $\vec{OA} = \vec{O}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{O} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
Den Ortsvektor $\vec{O} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ kann man auch weglassen.
$E : \vec{x} = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$A (1; 1; - 1)$ , $B (1; 2; 1)$ , $C (0; 3; 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
$A (3; 1; 2)$ , $B (2; 3; 1)$ , $C (4; 3; 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$A (2; 2; 2)$ , $B (5; 2; 1)$ , $C (3; 2; 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$
$A (40; 80; 0)$ , $B (20; 60; 10)$ , $C (55; 90; 20)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene in Parameterform aufstellen
Berechne zuerst die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 20 \\ 60 \\ 10 \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 20 \\ - 20 \\ 10 \end{array})$
Da sich die Richtung eines Vektors durch Multiplikation mit einer reellen Zahl nicht ändert, kann man $10$ ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{AB} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 55 \\ 90 \\ 20 \end{array}) - (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 \\ 10 \\ 20 \end{array})$
Auch hier kann man $5$ ausklammern, um einen möglichst einfachen Vektor zu erhalten.
$\Rightarrow \vec{AC} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array})$
Wähle $\vec{OA}$ als Aufpunkt der Ebene und setze in die Ebenengleichung $E : \vec{x} = \vec{OA} + λ \cdot \vec{AB} + μ \cdot \vec{AC}$ ein.
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array})$

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