Gemischte Aufgaben zur Ableitung

Zur Ableitung dieser Funktion musst du neben der Quotientenregel wissen, wie man den natürlichen Logarithmus mithilfe der Kettenregel ableitet.

Kettenregel vorbereiten

Die Funktion $f$ zerteilt sich in die innere Funktion $v(x)=\frac{1+x}{1-x}$ und die äußere Funktion $u(x)=\ln x$.

Wegen $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$ benötigst du von beiden Funktionen die Ableitung

Ableitung von $\ln x$

$\ln x$ ist eine Grundfunktion, deren Ableitung du im Artikel Ableitung berechnen findest:

$u^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

Ableitung der inneren Funktion mithilfe der Quotientenregel

Um die innere Funktion abzuleiten, benötigst du die Quotientenregel.Damit du einfach in die Regel einsetzen kannst, empfiehlt es sich, Zähler und Nenner vorab einzeln abzuleiten:

$p(x)=1+x\Rightarrow p^{\prime }(x)=1$

$q(x)=1-x\Rightarrow q^{\prime }(x)=-1$

Die Quotientenregel lautet:

Kettenregel anwenden

Nachdem du die Bestandteilte der Kettenregel berechnet hast, kannst du die Regel jetzt anwenden.

Insgesamt ist also die Summenregel, die Faktorregel die Kettenregel, die Quotientenregel und die Ableitungsregel des $\ln$ zum Einsatz gekommen. Außerdem musstest du mit Bruchtermen rechnen.