Elektromagnetische Induktion Teil 2

Wiederholung und Einführung in das Thema

Um die nachfolgenden Ausführungen besser verstehen zu können, raten wir Dir den vorangegangen Artikel ($\to$ LINK) kurz zu wiederholen.

Hierin besonders wichtig ist der formale Zusammenhang: $U_{ind}=-B\cdot {\displaystyle \frac{\text{∆}A}{\text{∆}t}}$ wobei gilt $\overrightarrow{B}\text{⊥}A$

Unser besonderes Augenmerk liegt auf dem Quotienten ${\displaystyle \frac{\text{∆}A}{\text{∆}t}}$, welcher die Flächenänderung $\text{∆}A$ einer Leiterschleife im Magnetfeld $B$ innerhalb einer Zeitspanne $\text{∆}t$ darstellt, unter dieser Voraussetzung erst eine Induktionsspannung $U_{ind}$ im Magnetischen Feld $B$ auftreten kann!

1) Versuchsaufbau

In diesem Artikel soll ein in Abb. 1 aufgezeigter zentraler Versuchsaufbau gelten:

Hierin zu sehen ist eine $Leiterschleife$, welche um eine $Drehachse$ drehbar gelagert sein möge. Die durch die Leiterschleife ausgebildete Fläche $A$ wird stehts vollständig von dem $Magnetischen$ $Feld$ $B$ durchströmt. Die abgebildete $orange$ Leiterschleife sei hier um ca $45°$ $gedreht.$

Mit Abb. 2 vergrößern wir den Bereich um die drehbare Leiterschleife und lenken unseren Fokus auf die durch die Leiterschleifen aufgespannten Flächen A, hierbei können wir zweierlei erkennen:

1. Die nicht gedrehte $blaue$ Leiterschleife wird (zum Zeitpunkt $t_0$) senkrecht vom Magnetfeld $B$ durchströmt. Nachdem hiermit gilt $\overrightarrow{B}\text{⊥}A$, geht auch deren aufgespannte Fläche $A=l\cdot s$ vollständig in die Berechnung unserer Induktionspannung $U_{ind}$ ein.

2. Die (zum Zeitpunkt $t_1$ um $45°$) gedrehte $orange$ Leiterschleife wird nicht mehr senkrecht vom Magnetfeld $B$ durchströmt. Durch senkrechte Projektion können wir allerdings jenen Längenanteil $l^{\prime }$ ermitteln, für welchen wiederum $\overrightarrow{B}\text{⊥}A$ gilt. Ersichtlich folgt daraus $l^{\prime }<l$. Bei gleichbleibender Länge $s$ können wir nun berechnen: $A^{\prime }=l^{\prime }\cdot s$, die für die Ermittlung der Induktionsspannung $U_{ind}$ wirksame Fläche $A^{\prime }$. Es gilt damit $A^{\prime }<A$. Folglich wird die gedrehte orange Leiterschleife also eine kleinere Induktionsspannung hervorrufen!

2) Ermittlung der wirksamen Fläche per Winkelfunktion

Unter Zuhilfenahme der Trigonometrie (wörtlich Dreiecksvermessung) können Beziehungen zwischen Seiten und Winkel von Dreiecken untersucht werden. Insbesondere auch für rechtwinklige Dreiecke wurden sogenannte trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, aufgestellt (zur Wiederholungen siehe LINK).

In Abb. 2 können wir ein ebensolches $grau$ markiertes rechtwinkliges Dreieck ausmachen.

3) Weiterführung des Versuches

Ausgehend von unserer bisher gezeigten Drehung von $45°$, wollen wir nun in den nachfolgenden Abb. 4ff unsere Leiterschleife eine vollständige Drehung von $360°$in $45°$-Schritten vollziehen lassen.

Wir erkennen hierbei, dass die senkrechte Projektion der Leiterschleife nach unten eine sich verändernde Fläche ergibt. Jene der wirksamen Fläche $A^{\prime }$, welche wie eben gezeigt direkten Einfluß auf unsere Induktionsspannung hat.

Wie nun können wir hieraus einen vollständigen Kosinusverlauf konstruieren?

4) Konstruktion eines Kosinusverlaufes

Grundlegendes zum Verständnis

• Der Vollwinkel eines Kreises beträgt $360°$, dieser wiederum entspricht $2\pi$ rad (für Radiant). Ein Radiant ist ein Winkelmaß, bei welchem der Winkel (hier der Vollkreis) durch die Länge des Kreisbogens (auch Bogenmaß genannt) mit $2\pi$ angegeben wird. ($\pi$ $\approx$ 3,14 für Pi)

• Die Periodendauer für eine komplette Drehung ($\mathrm{0...360}°$) ist als $T$ definiert.

• Die Winkelgeschwindigkeit ist definiert mit: $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$und soll für unseren Versuch konstant sein. ($\omega$ für klein Omega).

5) Zusammenfassende Erkenntnis

Mit unserer o.g. abgeleiteten Formel . . .

$U_{ind}=-\overrightarrow{B}\cdot {\displaystyle \frac{\text{∆}{A}^{\prime }}{\text{∆}t}}=-\overrightarrow{B}\cdot cos(\phi )\cdot {\displaystyle \frac{\text{∆}A}{\text{∆}t}}$ und $\overrightarrow{B}⟂̸A$

. . . erkennen wir zusammenfassend folgendes:

1. Durch Drehung einer Leiterschleife, trifft das Magnetische Feld $B$ nicht mehr zwangsläufig senkrecht auf die konstante Fläche $A$ (Ausnahme $\phi =0°=360°$ oder $\phi =180°$).

2. Für all jene Fälle muß die wirksame Fläche $A^{\prime }$ (jener Flächenanteil für diesen gilt $\overrightarrow{B}\text{⊥}A$) unter Zuhilfenahme des $cos(\phi )$ berechnet werden.

3. $cos(\phi )$ stellt demnach eine Art Korrekturfaktor dar, welcher zwischen $-1\le 0\le +1$ pendelt und die Fläche $A$ hin zu Fläche $A^{\prime }$ entsprechend korrigiert.

4. Nachdem das Magnetische Feld $B$ als auch die Fläche $A$ konstant sind, beeinflußt der Drehwinkel $\phi$ und damit auch $cos(\phi )$ zentral und ausschließlich die Induktionsspannung $U_{ind}$.

6) Ergebnis

Vielfache volle Umdrehungen einer Leiterschleife im Magnetfeld führen durch Aneinanderreihung der durch die $\cos$-Funktion erzeugten Induktionsspannung zu einem in Summe sinusförmigen Verlauf (siehe Abb. 6).

Dies wiederum ist in der praktischen Anwendung die technische Basis für jeden Generator, z.B. dem Dynamo deines Fahrrades. Hierzu später noch mehr.