Lagebeziehung zwischen Kugeln und Ebenen

Es wird die Lage einer Ebene $E$ bezüglich einer Kugel $K$ untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

die Ebene schneidet die Kugel nicht (oberes Bild)
die Ebene berührt die Kugel in genau einem Punkt, die Ebene ist eine Tangentialebene (mittleres Bild)
die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis (unteres Bild)

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M (m_{1} | m_{2} | m_{3})$ und den Radius $r$ . Die Ebene $E$ liegt in der Koordinatenform vor.

E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d

Die Ermittlung der Lage von Ebene zu Kugel erfolgt über die Berechnung des Abstandes des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ . Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

E_{H N F} : \frac{a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0

Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein:

d (M, E) = | \frac{a \cdot m_{1} + b \cdot m_{2} + c \cdot m_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} |

Nun sind drei Fälle möglich:

$d (M, E) > r$ ; die Ebene schneidet die Kugel nicht
$d (M, E) = r$ ; die Ebene ist eine Tangentialebene
$d (M, E) < r$ ; die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis

Wenn du bei deiner Rechnung festgestellt hast, dass $d (M, E) > r$ ist, dann gibt es nichts weiter zu rechnen. Die Ebene schneidet die Kugel nicht.

Ist dagegen $d (M, E) = r$ , so kannst du noch den Berührpunkt zwischen der Ebene und der Kugel berechnen. (Beispiel $1$ )

Ist dagegen $d (M, E) < r$ , so kannst du die Koordinaten des Schnittkreismittelpunktes $M^{'}$ und den Schnittkreisradius $r^{'}$ berechnen. (Beispiel $2$ )

Beispiel 1

Zeige, dass die Ebene $E : - 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 26$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (2 | 2 | 1)$ und dem Radius $r = 9$ ist. Berechne auch den Berührpunkt $B$ .

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

$E_{H N F} : \frac{- 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 26}{\sqrt{(- 2)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Wurzel.
$E_{H N F} : \frac{- 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 26}{3}$	$=$	$0$

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ , indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

$d (M, E)$	$=$	$\| \frac{- 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 - 26}{3} \|$
	↓	vereinfache
	$=$	$\| \frac{- 27}{3} \|$
	↓	Berechne den Betrag
	$=$	$9$

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d = 9$ . Der Kugelradius ist $r = 9$ . Da $d = r$ ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes

Stelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt auf die Ebene $E$ auf.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ .

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

oder

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 2 t \\ 2 + 2 t \\ 1 - t \end{array})$

Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade $g_{L o t}$ mit der Ebene $E$ schneidest.

$g_{L o t} \cap E$
	↓
$E : - 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3}$	$=$	$26$
	↓	Setze $x_{1} = 2 - 2 t$ , $x_{2} = 2 + 2 t$ , $x_{3} = 1 - t$ in $E$ ein.
$- 2 \cdot (2 - 2 t) + 2 \cdot (2 + 2 t) - 1 \cdot (1 - t)$	$=$	$26$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 4 + 4 t + 4 + 4 t - 1 + t$	$=$	$26$
	↓	Vereinfache die linke Seite.
$9 t - 1$	$=$	$26$	$+ 1$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$9 t$	$=$	$27$	$: 9$
$t$	$=$	$3$

Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du $t = 3$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\vec{X}}_{B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 6 \\ 2 + 6 \\ 1 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 8 \\ - 2 \end{array})$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (- 4 | 8 | - 2)$ .

Beispiel 2

Zeige, dass die Ebene $E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 2$ die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (3 | 0 | 1)$ und dem Radius $r = 5$ schneidet. Berechne auch den Schnittkreismittelpunkt $M^{'}$ und den Schnittkreisradius $r^{'}$ .

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

$E_{H N F} : \frac{x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 2}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Wurzel.
$E_{H N F} : \frac{x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 2}{3}$	$=$	$0$

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ , indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

$d (M, E)$	$=$	$\| \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 2}{3} \|$
	↓	vereinfache
	$=$	$\| \frac{3}{3} \|$
	↓	Berechne den Betrag
	$=$	$1$

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d = 1$ . Der Kugelradius ist $r = 5$ . Da $d < r$ ist, wird die Kugel in einem Kreis geschnitten.

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M^{'}$

Den Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises berechnest du, indem du die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $E$ mit der Ebene $E$ schneidest.

Berechne die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt auf die Ebene $E$ . Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ .

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 + t \\ 2 t \\ 1 + 2 t \end{array})$

Schneide die Lotgerade mit der Ebene: $g_{L o t} \cap E$

$E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3}$	$=$	$2$
	↓	Setze $g$ in $E$ ein.
$1 \cdot (3 + t) + 2 \cdot (2 t) + 2 \cdot (1 + 2 t)$	$=$	$2$
	↓	Löse die Klammern auf.
$3 + t + 4 t + 2 + 4 t$	$=$	$2$
	↓	Vereinfache die linke Seite.
$9 t + 5$	$=$	$2$	$- 5$
	↓	Löse nach t auf.
$9 t$	$=$	$- 3$	$: 9$
$t$	$=$	$- \frac{3}{9}$
	↓	Kürze den Bruch.
$t$	$=$	$- \frac{1}{3}$

Zur Berechnung des Schnittpunktes $M^{'}$ setzt du $t = - \frac{1}{3}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\vec{X}}_{M^{'}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) - \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - \frac{1}{3} \\ 0 - \frac{2}{3} \\ 1 - \frac{2}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array})$

Antwort: Der Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises hat die Koordinaten:

$M^{'} (\frac{8}{3} | - \frac{2}{3} | \frac{1}{3})$ .

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Den Schnittkreisradius $r^{'}$ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen (siehe obige Abbildung). Der Abstand der Ebene $E$ vom Mittelpunkt $M$ ist $d = 1$ (wurde am Anfang berechnet) und der Kugelradius ist $r = 5$ .

$r^{2}$	$=$	$d^{2} + r^{' 2}$
	↓	Nach $r^{'}$ auflösen.
$r^{'}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - d^{2}}$
	↓	Setze $r = 5$ und $d = 1$ ein.
	$=$	$\sqrt{5^{2} - 1^{2}}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\sqrt{24}$
	$\approx$	$4,9$

Antwort: Der Radius $r^{'}$ des Schnittkreises beträgt $\sqrt{24} \approx 4,9 LE$ .

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Berechnung des Berührpunktes

Beispiel 2

Lösung:

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes M′

Berechnung des Schnittkreisradius r′

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